Cách giải phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

1. Phương trình bậc hai:

Phương trình bậc hai là một dạng phương trình toán học có dạng chung là:

ax^2 + bx + c = 0

Trong đó:

– a, b và c là các hệ số của phương trình, và a khác 0 (a ≠ 0).

– x là biến số cần tìm giá trị để phương trình trở thành một câu lệnh đúng.

Hàm số trong phương trình bậc hai là một hàm số bậc hai (hàm số có biểu thức chứa lũy thừa bậc hai của biến số). Điều này dẫn đến việc đồ thị của phương trình bậc hai là một đường parabol.

Phương trình bậc hai có thể có một trong ba trường hợp sau khi giải:

1. Delta (Δ) > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

2. Delta (Δ) = 0: Phương trình có một nghiệm kép (có nghĩa là có hai nghiệm bằng nhau).

3. Delta (Δ) < 0: Phương trình không có nghiệm thực, và có hai nghiệm phức đối nghịch.

Công thức giải phương trình bậc hai là:

x = (-b ± √Δ) / (2a)

Trong đó:

– Δ (delta) là giá trị của biểu thức b^2 – 4ac, còn được gọi là “discriminant”.

– “±” biểu thị rằng ta cần tính cả hai giá trị của x, một với dấu dương và một với dấu âm.

Công thức này được lấy từ công thức khai phương của biểu thức bậc hai và giúp ta tính toán nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai rất quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc giải phương trình bậc hai giúp chúng ta tìm các giá trị của biến số x mà làm cho phương trình trở thành câu lệnh đúng.

2. Hàm số lượng giác:

Hàm số lượng giác là các hàm số trong toán học mà liên quan đến các tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác vuông hoặc các tỉ lệ giữa các đoạn cạnh trong một đơn vị tròn. Hàm số lượng giác được sử dụng phổ biến trong hình học và các lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt là trong trigonometri.

Có sáu hàm số lượng giác chính, được ký hiệu bằng các từ viết tắt:

– Sin (sinh) – hàm số sin(x): Tỉ lệ giữa cạnh đối diện với góc x và cạnh huyền trong tam giác vuông. Sin(x) = đối diện / huyền.

– Cos (cosh) – hàm số cos(x): Tỉ lệ giữa cạnh kề góc x và cạnh huyền trong tam giác vuông. Cos(x) = kề / huyền.

– Tan (tanh) – hàm số tan(x): Tỉ lệ giữa cạnh đối diện với góc x và cạnh kề góc x trong tam giác vuông. Tan(x) = đối diện / kề.

– Cot (coth) – hàm số cot(x): Tỉ lệ giữa cạnh kề góc x và cạnh đối diện với góc x trong tam giác vuông. Cot(x) = kề / đối diện.

– Sec (sech) – hàm số sec(x): Tỉ lệ giữa độ dài của cạnh huyền và cạnh kề góc x trong tam giác vuông. Sec(x) = huyền / kề.

– Csc (csch) – hàm số csc(x): Tỉ lệ giữa độ dài của cạnh huyền và cạnh đối diện với góc x trong tam giác vuông. Csc(x) = huyền / đối diện.

Hàm số lượng giác có tính chất đặc biệt và quan trọng trong trigonometri. Các hàm số lượng giác có thể nhận giá trị từ -1 đến 1 và có các chu kỳ lặp đi lặp lại trong khoảng 2π hoặc 360 độ. Hơn nữa, các hàm số lượng giác còn liên hệ chặt chẽ với đơn vị tròn thông qua các định nghĩa hình học của chúng.

Hàm số lượng giác có rất nhiều ứng dụng trong hình học, vật lý, kỹ thuật và các lĩnh vực khoa học khác. Chúng được sử dụng để giải các vấn đề liên quan đến tỉ lệ, góc, và các quan hệ giữa các yếu tố trong các hình thức không gian và không gian xoay quanh trục.

3. Cách giải phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác:

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là một phương trình có dạng:

với f(x) là một trong những hàm số lượng giác chính: f(x) = sin(x), f(x) = cos(x), f(x) = tan(x), hoặc f(x) = cot(x).

Cách giải phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác:

Bước 1: Đặt t = f(x)

Ta thay thế hàm số lượng giác trong phương trình bằng biến t để thu gọn phương trình về dạng bậc hai thông thường: at^2 + bt + c = 0.

Bước 2: Giải phương trình bậc hai

Giải phương trình bậc hai vừa thu được, tức là at^2 + bt + c = 0, bằng cách sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc hai thông thường. Điều này dẫn đến việc tính toán được giá trị của t.

Bước 3: Tìm giá trị của x

Sau khi đã tìm được giá trị của t, ta tìm lại giá trị của x thông qua mối quan hệ giữa t và f(x). Điều này thường bao gồm việc sử dụng các hàm lượng giác đảo nhau để tìm x từ giá trị của t.

Lưu ý: Trong quá trình giải phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác, ta phải lưu ý rằng giá trị của hàm số lượng giác (sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)) có giới hạn trong khoảng -1 đến 1. Do đó, khi giải phương trình tại bước 2, ta cần kiểm tra xem giá trị t thu được có nằm trong khoảng này hay không để đảm bảo tính hợp lệ của giải phương trình.

4. Bài tập phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác:

4.1. Ví dụ số 01: 

Giải phương trình: 2sin^2(x) – 3sin(x) + 1 = 0

Lời giải:

Đây là một phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác (sin^2(x)). Hãy giải phương trình này bằng cách thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt t = sin(x), ta có phương trình 2t^2 – 3t + 1 = 0

Bước 2: Giải phương trình 2t^2 – 3t + 1 = 0 bằng cách tìm các giá trị của t: Để giải phương trình bậc hai này, ta sử dụng công thức giải phương trình bậc hai: t = (-b ± √Δ) / (2a)

Trong đó, a = 2, b = -3 và c = 1.

Delta (Δ) = b^2 – 4ac Δ = (-3)^2 – 4 * 2 * 1 Δ = 9 – 8 Δ = 1

Giá trị của t: t = (3 ± √1) / (2 * 2)

t1 = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1 t2 = (3 – 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Bước 3: Tìm giá trị của x:

Quay lại với t = sin(x):

1. sin(x) = 1 => x = π/2 + 2πk, với k là số nguyên.
2. sin(x) = 1/2 => x = π/6 + 2πk hoặc x = 5π/6 + 2πk, với k là số nguyên.

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x = π/2 + 2πk hoặc x = π/6 + 2πk, với k là số nguyên.

4.2. Bài tập có đáp án:

Bài tập 1: Giải phương trình: cos^2(x) – 3cos(x) + 2 = 0

Bài tập 2: Giải phương trình: 2tan^2(x) + 5tan(x) + 2 = 0

Bài tập 3: Giải phương trình: 3cot^2(x) – 4cot(x) – 4 = 0

Bài tập 4: Giải phương trình: 4sin^2(x) + sin(x) – 1 = 0

Bài tập 5: Giải phương trình: 2cos^2(x) + cos(x) – 3 = 0

Lời giải:

Bài tập 1: Đặt t = cos(x), ta có phương trình: t^2 – 3t + 2 = 0

Giải phương trình t^2 – 3t + 2 = 0 bằng cách tìm các giá trị của t: (t – 1)(t – 2) = 0 => t = 1 hoặc t = 2

Quay lại với f(x) = cos(x):

1. cos(x) = 1 => x = 2πk, với k là số nguyên.

2. cos(x) = 2 không có giá trị thỏa mãn trong khoảng [-1, 1], nên phương trình này không có nghiệm.

Bài tập 2: Đặt t = tan(x), ta có phương trình: 2t^2 + 5t + 2 = 0

Giải phương trình 2t^2 + 5t + 2 = 0 bằng cách tìm các giá trị của t: (t + 1)(2t + 2) = 0 => t = -1 hoặc t = -1/2

Quay lại với f(x) = tan(x):

1. tan(x) = -1 => x = 3π/4 + πk, với k là số nguyên.

2. tan(x) = -1/2 => x = π/6 + πk hoặc x = 5π/6 + πk, với k là số nguyên.

Bài tập 3: Đặt t = cot(x), ta có phương trình: 3t^2 – 4t – 4 = 0

Giải phương trình 3t^2 – 4t – 4 = 0 bằng cách tìm các giá trị của t: (3t + 2)(t – 2) = 0 => t = -2/3 hoặc t = 2

Quay lại với f(x) = cot(x):

1. cot(x) = -2/3 không có giá trị thỏa mãn trong khoảng [-1, 1], nên phương trình này không có nghiệm.

2. cot(x) = 2 không có giá trị thỏa mãn trong khoảng [-1, 1], nên phương trình này không có nghiệm.

Bài tập 4: Đặt t = sin(x), ta có phương trình: 4t^2 + t – 1 = 0

Giải phương trình 4t^2 + t – 1 = 0 bằng cách tìm các giá trị của t: (4t + 1)(t – 1) = 0 => t = -1/4 hoặc t = 1

Quay lại với f(x) = sin(x):

1. sin(x) = -1/4 không có giá trị thỏa mãn trong khoảng [-1, 1], nên phương trình này không có nghiệm.

2. sin(x) = 1 => x = π/2 + 2πk, với k là số nguyên.

Bài tập 5: Đặt t = cos(x), ta có phương trình: 2t^2 + t – 3 = 0

Giải phương trình 2t^2 + t – 3 = 0 bằng cách tìm các giá trị của t: (2t – 3)(t + 1) = 0 => t = 3/2 hoặc t = -1

Quay lại với f(x) = cos(x):

1. cos(x) = 3/2 không có giá trị thỏa mãn trong khoảng [-1, 1], nên phương trình này không có nghiệm.

2. cos(x) = -1 => x = π + 2πk, với k là số nguyên.