Trong chương trình Toán Tiểu học nâng cao, có nhiều bài toán mà ta không thấy có các vật chuyển động (động tử) ở trong đó nhưng vẫn có dạng gần giống toán chuyển động, được gọi là biến dạng của toán chuyển động. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo bài viết Cách giải các dạng bài Toán liên quan đến vòi nước dễ hiểu dưới đây.
Mục lục bài viết
1. Cách giải các dạng bài Toán liên quan đến vòi nước dễ hiểu:
Bài toán: Vòi nước chảy vào bể là một trong số đó. Loại toán này không phổ biến cho tất cả các học sinh nhưng lại rất thiết thực cho những HS năng khiếu.
Bài toán này thường có ba đại lượng:
Thể tích của lượng nước (tương tự với quãng đường s). Thể tích này thường tính theo lít, hoặc mét khối, đêximet khối.
Sức chảy (hay còn gọi là lưu lượng) của vòi nước tính theo đơn vị lít/phút hoặc lít/giây hoặc lít/giờ. Đại lượng này tương tự với vận tốc (v).
Thời gian chảy của vòi nước, đại lượng này tương tự với thời gian t trong bài toán chuyển động.
Có 3 quy tắc (hoặc công thức sau)
Thể tích nước = Sức chảy x Thời gian
Sức chảy = Thể tích nước : Thời gian
Thời gian = Thể tích nước : Sức chảy
Nếu thay đại lượng sức chảy của vòi nước bằng một từ chính xác hơn là lưu lượng của vòi nước thì có thể viết lại ba quy tắc trên như sau:
Thể tích nước = Lưu lượng x Thời gian
Thời gian = Thể tích : Lưu lượng
Lưu lượng = Thể tích : Thời gian
Ghi chú: Khi giải toán loại này cần chú ý là : 1lít = 1dm3.
2. Các dạng bài toán liên quan đến vòi nước:
Dạng 1: Bài toán “Vòi nước chảy vào bể” có tính tương đồng với bài toán “Hai động tử chuyển động ngược chiều gặp nhau”.
Ví dụ 1: Giả sử có một bể rộng với sức chứa 2500 lít và ban đầu không có nước. Đồng thời, hai vòi nước được mở. Vòi thứ nhất mỗi phút chảy vào bể 45 lít, còn vòi thứ hai là 55 lít. Hỏi sau bao lâu bể sẽ đầy?
Phân tích: Giả sử sức chứa của bể tương đương với quãng đường, hai vòi nước có thể coi như là hai động tử. Vì cả hai vòi nước đều chảy vào bể, nên ta có thể coi chúng như hai động tử chuyển động ngược chiều gặp nhau.
Giải:
Tổng lưu lượng của hai vòi nước mỗi phút là 45 + 55 = 100 lít (tương tự như tổng vận tốc của hai động tử).
Thời gian cần để bể đầy nước là: 2500 : 100 = 25 phút.
Đáp số: 25 phút.
Ví dụ 2: Giả sử có một bể rộng với sức chứa 5400 lít, và từ 7 giờ đến 8 giờ 30 phút, cả hai vòi nước được mở. Nếu vòi thứ nhất mỗi phút chảy vào bể 20 lít, hỏi trong một phút vòi thứ hai chảy vào bể được bao nhiêu lít?
Phân tích: Coi thể tích bể như khoảng cách ban đầu giữa hai động tử. Thời gian để hai động tử (nước từ hai vòi) gặp nhau là từ 7 giờ đến 8 giờ 30 phút. Tức là khoảng thời gian là 1 giờ 30 phút = 90 phút
Giải:
Trong một phút, cả hai vòi nước cùng chảy vào bể là 5400 : 90 = 60 lít. Trong một phút, vòi thứ hai chảy được vào bể là 60 − 20 = 40
Đáp số: 40 lít.
Dạng 2: Bài toán “Vòi nước chảy vào bể” có sự tương đồng với bài toán “Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau”.
Ví dụ 1: Giả sử có một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,2m, rộng 1m, và cao 0,8m. Lúc 6 giờ, người ta mở nước vào bể, với lượng nước chảy vào mỗi phút là 46 lít. Đồng thời, một vòi nước khác từ bể chảy ra, với lượng nước chảy ra mỗi phút là 22 lít. Hỏi bể đầy nước lúc mấy giờ?
Phân tích: Nếu coi thể tích bể nước là độ dài quãng đường, thì hai vòi nước có thể được coi như hai động tử chuyển động trên quãng đường đó. Bài toán có sự tương đồng với bài toán hai động tử chuyển động cùng chiều, đuổi nhau, vì có một vòi nước chảy vào nhưng đồng thời lại có một vòi nước chảy ra.
Giải:
Thể tích bể nước hình hộp chữ nhật là 1.2 × 1 × 0.8 = 0.96 m³.
Lượng nước chảy vào mỗi phút là 46 − 22 = 24 lít.
Thời gian để nước chảy đầy bể nước hình hộp chữ nhật là 960 : 24 = 40 phút
Bể đầy nước lúc 6 giờ + 40 phút = 6 giờ 40 phút.
Đáp số: 6 giờ 40 phút.
Ví dụ 2: Giả sử có một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 2m, rộng 1.2m, và cao 1.5m. Hiện đang chứa 1600 lít nước. Lúc 7 giờ 25 phút, người ta mở vòi nước chảy vào bể, với lượng nước chảy vào mỗi phút là 15 lít. Do có một lỗ hổng ở đáy bể, nước đầy bể mới mất đến 10 giờ 45 phút. Hỏi lỗ hổng chảy ra ngoài mỗi phút là bao nhiêu lít?
Phân tích: Đây là một bài toán có dạng hai động tử chuyển động cùng chiều, đuổi nhau. Khoảng cách giữa hai động tử chính là phần thể tích bể còn trống. Bài toán yêu cầu tìm lưu lượng nước chảy qua lỗ hổng, tương tự như đại lượng vận tốc của động tử chạy chậm.
Giải:
Thể tích bể nước hình hộp chữ nhật là 2 × 1.2 × 1.5 = 3.6 m³, tương đương với 3600 lít.
Phần thể tích bể trống chiếm 3600 − 1600 = 2000 lít.
Thời gian để nước chảy đầy bể là 10 giờ 45 phút – 7 giờ 25 phút = 3 giờ 20 phút = 200 phút.
Trong một phút, lượng nước chảy vào bể là 2000 : 200 = 10 lít.
Lỗ hổng chảy mất 15 − 10 = 5 lít mỗi phút.
Đáp số: 5 lít.
Khi gặp bài toán “Vòi nước chảy vào bể” với cả vòi nước chảy vào và chảy ra, ta có thể phân tích theo bài toán “Hai động tử chuyển động cùng chiều, đuổi nhau”. Lưu ý rằng: Lưu lượng nước chảy vào tương tự với vận tốc động tử chạy nhanh. Lưu lượng nước chảy ra tương tự với vận tốc của động tử chạy chậm. Thể tích bể còn trống là khoảng cách giữa hai động tử. Thời gian để nước chảy đầy bể là thời gian hai động tử đuổi kịp nhau.
3. Một số bài tập vận dụng liên quan đến vòi nước có đáp án:
Bài 1: Người ta mở 4 vòi nước chảy vào một bể bơi không có nước. Nếu chỉ mở vòi I, II và III thì hết 10 giờ. Nếu chỉ mở vòi II, III và IV thì hết 12 giờ. Nếu chỉ mở vòi I và IV thì hết 15 giờ. Hỏi mở cả 4 vòi thì sau mấy giờ thì đầy bể?
Hướng dẫn giải:
(1) Trong 1 giờ vòi I, II và III chảy được số phần bể là: 1 : 11 = 1/10 (bể)
(2) Trong 1 giờ vòi II, III và IV chảy số phần bể là: 1 : 13 = 1/12 (bể)
(3) Trong 1 giờ vòi I và IV chảy được số phần bể nước là: 1 : 15 = 1/15 (bể)
Ta nhận thấy tổng của (1); (2) và (3) các vòi I; II; III và IV đều xuất hiện 2 lần.
Vậy trong 1 giờ cả 4 vòi chảy được là: (1/10 + 1/12 + 1/15) : 2 = 1/8 (bể)
Số giờ cả 4 vòi chảy đầy bể là: 1 : 1/8 = 8 (giờ)
Đáp án: 8 giờ.
Bài 2: Nếu bể không có nước người ta mở một vòi thứ nhất thì sau 4 giờ bể sẽ đầy, còn người ta mở một vòi thứ hai thì sau 5 giờ bể sẽ đầy. Khi bể không có nước người ta mở vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ rồi sau đó mở tiếp vòi thứ hai cùng chảy. Hỏi hai vòi cùng chảy tiếp trong bao lâu nữa thì bể đầy?
Hướng dẫn giải:
Vòi thứ nhất trong 1 giờ chảy được 1/4 bể.
Vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ được: 1/4 x 2 = 2/4 = 1/2 (bể)
Phần bể trống còn lại: 1 – 1/2 = 1/2 (bể)
Vòi thứ hai trong 1 giờ chảy được 1/5 bể.
Cả 2 vời trong 1 giờ chảy được: 1/4 + 1/5 = 9/20 (bể)
Thời gian cả 2 vòi chảy đầy 1/2 còn lại của bể. 1/2 : 9/20 = 10/9 (giờ)
Đáp án: 10/9 giờ
Bài 3: Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì sau 7 giờ 12 phút bể đầy. Nếu chỉ mở vòi thứ nhất chảy 4 giờ và sau đó chỉ mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 8 giờ nữa thì đầy bể. Hỏi nếu bể không có nước chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu bể đầy?
Hướng dẫn giải:
7 giờ 12 phút = 7,2 giờ
Nếu cả 2 vòi cùng chảy sau 4 giờ thì thì được: 4 : 7,2 = 5/9 (bể)
Lượng nước còn lại để đầy bể: 1 – 5/9 = 4/9 (bể)
Thời gian còn lại để vòi thứ hai chảy được 4/9 bể là: 8 – 4 = 4 (giờ)
Thời gian để chỉ mỗi vòi thứ hai chảy đầy bể: 4 : 4/9 = 9 (giờ)
Đáp số: 9 giờ
Bài 4: Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì sau 7giờ 12phút bể đầy. Nếu chỉ mở vòi thứ nhất chảy 6 giờ và sau đó chỉ mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 8 giờ nữa thì đầy bể. Hỏi nếu bể không có nước chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu bể đầy?
Hướng dẫn giải:
7 giờ 12 phút = 7,2 giờ
Nếu cả 2 vòi cùng chảy sau 6 giờ thì thì được:
6 : 7,2 = 5/6 (bể)
Lượng nước còn lại để đầy bể:
1 – 5/6 = 1/6 (bể)
Thời gian còn lại để vòi thứ hai chảy được 1/6 bể là:
8 – 6 = 2 (giờ)
Thời gian để chỉ mỗi vòi thứ hai chảy đầy bể:
2 : 1/6 = 12 (giờ)
Đáp số: 12 giờ
THAM KHẢO THÊM:
