Cách giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của hai số đó

1. Cách giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của hai số đó

1.1. Dạng cơ bản:

Các bước giải:

– Bước 1: Tìm hiệu hai số (nếu ẩn hiệu)

– Bước 2: Tìm tỉ số (nếu ẩn tỉ)

– Bước 3: Vẽ sơ đồ

– Bước 4: Tìm hiệu số phần bằng nhau

– Bước 5: Số bé = Hiệu : Hiệu số phần x số phần của số bé

– Bước 6: Số lớn bằng = Số bé + Hiệu

Ví dụ: Hiệu của hai số là 36. Tỉ số của hai số đó là 8/5. Tìm hai số đó.

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

8 – 5 = 3 (phần)

Số bé là :

36: 3 x 5 = 60

Số lớn là :

60 + 36 = 96

Đáp số: Số bé: 60; Số lớn: 96.

Các trường hợp đặc biệt

Đề bài nhiều bài toán không cho dữ kiện đầy đủ về hiệu và tỉ số mà có thể cho dữ kiện như sau:

– Thiếu hiệu hay hiểu ẩn (cho biết tỉ số, không có biết hiệu số)

– Thiếu tỉ hay ẩn tỉ số (cho biết hiệu số, không cho biết tỉ số)

– Cho dữ kiện thêm, bớt số, tạo hiệu (hoặc tỉ) mới tìm số ban đầu

Với những bài toán cho dữ kiện như vậy, cần tiến hành thêm một bước chuyển về bài toán cơ bản và cách giải lưu ý như sau

1.2. Dạng toán hiệu (ẩn) – tỉ:

Dạng toán này đề bài không cho biết hiệu ngay, do đó chúng ta phải tìm cách tìm hiệu trước rồi mới đi tìm hiệu số phần bằng nhau và từ đó tìm được hai số.

Ví dụ 4. Hình chữ nhật có chiều dài bằng 3/2 chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 20 m thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tính diện tích của hình chữ nhật?

Lời giải.

Vì chiều dài bằng 3/2 chiều rộng, nên nếu coi chiều rộng là 2 phần đoạn thẳng thì chiều dài là 3 phần. Theo đề bài ta có sơ đồ:

Nếu tăng chiều rộng thêm 20 m thì hình chữ nhật trở thành hình vuông, tức là khi đó chiều rộng sẽ dài bằng chiều dài. Hay nói cách khác, hiệu chiều dài và chiều rộng là 20 m.

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 – 2 = 1 (phần)

Chiều dài của hình chữ nhật là: 20 x 3 = 60 (m)

Chiều rộng của hình chữ nhật là: 20 x 2 = 40 (m)

Diện tích của hình chữ nhật là: 60 x 40 = 2 400 (m²)

Đáp số: 2 400 m²

1.3. Dạng toán hiệu – tỉ (ẩn):

Ví dụ 5. Có hai thùng dầu, thùng thứ nhất đựng ít thùng thứ hai 24 l dầu. Biết 5 lần thùng thứ nhất bằng 3 lần thùng thứ hai. Hỏi mỗi thùng đựng bao nhiêu lít dầu?

Bài giải

Đề bài chưa cho biết tỉ số, tuy nhiên lại cho biết “5 lần thùng I bằng 3 lần II”. Hay nói cách khác, tỉ số của thùng thứ nhất và thùng thứ hai là 3/5.

Do đó, chúng ta có sơ đồ sau:

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 3 = 2 (phần)

Số lít dầu thùng thứ nhất đựng là: (24: 2) x 3 = 36 (l)

Số lít dầu thùng thứ hai đựng là: 36 + 24 = 60 (l)

Đáp số: 36 l dầu; 60 l dầu.

1.4. Dạng toán hiệu (ẩn) – tỉ (ẩn):

Ví dụ 6. Hiện nay, An 8 tuổi và chị Mai 28 tuổi. Sau bao nhiêu năm nữa thì 1/3 tuổi An bằng 1/7 tuổi chị Mai?

Lời giải.

Theo đầu bài, ta có sơ đồ sau:

Hiệu số tuổi của An và Mai luôn là: 28 – 8 = 20 (tuổi)

Biết 1/3 tuổi của An bằng 1/7 tuổi của Mai nên suy ra tuổi của An bằng 3/7 tuổi của Mai.

Hiệu số phần bằng nhau: 7 – 3 = 4 (phần)

Số tuổi của An sau này là: (20:4) x 3 = 15 (tuổi)

Số năm cần tìm là: 15 – 8 = 7 (năm)

Đáp số: 7 năm.

2. Bài tập Sách giáo khoa Toán lớp 4:

Bài 1 (trang 151). Số thứ nhất là 123. Tỉ số của hai số đó là 2/5. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Ta có sơ đồ :

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

5 – 2 = 3 (phần)

Số bé là:

123 : 3 × 2 = 82

Số lớn là:

123 – 82 = 205

Đáp số: Số bé: 82; Số lớn: 205

Bài 2 (trang 151). Mẹ hơn con 25 tuổi. Tuổi con bằng 2/7 tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi người 

Lời giải:

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

7 – 2 = 5 (phần)

Tuổi con là:

25 : 5 × 2 = 10 (tuổi)

Tuổi mẹ là:

25 + 10 = 35 (tuổi)

Đáp số: Con: 10 tuổi; Mẹ: 35 tuổi

Bài 3 (trang 151). Hiệu của hai số bằng số bé nhất có ba chữ số. Tỉ số của hai số đó 9/5. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Số bé nhất có ba chữ số là 100. Do đó, hiệu hai số là 100.

Ta có sơ đồ :

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

9 – 5 = 4 (phần)

Số lớn là:

100 : 4 × 9 = 225

Số bé là:

225 – 100 = 125

Đáp số: Số lớn: 225; Số bé: 125

3. Bài tập tự luyện:

1. Nhà Lan có 2 anh em. Lan kém anh trai của cô ấy 5 tuổi. Tuổi của bố Lan gấp 5 lần tuổi anh Lan và hơn tuổi Lan 45 tuổi. Hỏi tuổi Lan hiện nay?

Hướng dẫn

Bố hơn anh Lan số tuổi là: 45 – 5 = 40 (tuổi)

Coi tuổi anh là 1 phần thì tuổi bố là 5 phần

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 1 = 4 (phần)

Tuổi anh là: 40 : 4 x 1 = 10 (tuổi)

Tuổi Lan là: 10 – 5 = 5 (tuổi)

2. Hình chữ nhật có chiều dài bằng 3/2 chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng 20m thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tính diện tích của hình chữ nhật?

Hướng dẫn

Chiều dài hơn chiều rộng 20m

Ta có sơ đồ:

Chiều rộng: |——-|——-|

Chiều dài: |——-|——-|——-|

Hiệu số phần bằng nhau là: 3 – 2 = 1 (phần)

Chiều rộng của hình chữ nhật là: 20 : 1 x 2 = 40 (m)

Chiều dài của hình chữ nhật là: 40 + 20 = 60 (m)

Diện tích của hình chữ nhật là: 40 x 60 = 2400 (m²)

3. Có hai thùng dầu, thùng thứ nhất đựng ít thùng thứ hai 24 lít dầu. 5 lần thùng thứ nhất bằng 3 lần thùng thứ hai. Hỏi mỗi thùng đựng bao nhiêu lít dầu?

Hướng dẫn

Hiệu hai thùng là: 24 lít

Thùng thứ nhất x 5 = thùng thứ hai x 3

Thùng thứ nhất = thùng thứ hai x 3 : 5

Hay thùng thứ nhất = 3/5 thùng thứ hai

Vẽ sơ đồ:

Thùng 1: |——-|——-|——-|

Thùng 2: |——-|——-|——-|——-|——-|

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 3 = 2 (phần)

Thùng thứ nhất đựng số lít dầu là: 24 : 2 x 3 = 36 (lít)

Thùng thứ hai đựng số lít dầu là: 36 + 24 = 60 (lít)

4. Hiện nay, An 8 tuổi và chị Mai 28 tuổi. Sau bao nhiêu năm nữa thì 1/3 tuổi An bằng 1/7 tuổi chị Mai?

Hướng dẫn

Bước 1: Tìm hiệu

Chị Mai hơn An số tuổi là: 28 – 8 = 20 (tuổi)

Bước 2: Tìm tỉ số:

1/3 tuổi An bằng 1/7 tuổi chị Mai thì tuổi An bằng 3/7 tuổi của chị Mai

Giải thích để học sinh hiểu thì có thể áp dụng cách sau:

Tuổi An : 3 = Tuổi chị Mai : 7 suy ra Tuổi An = Tuổi chị Mai : 7 x 3 = 3/7 tuổi chị Mai)

Bước 3: Vẽ sơ đồ:

An: |——-|——-|——-|

Mai: |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|

Bước 4: Tìm hiệu số phần bằng nhau.

Hiệu số phần bằng nhau là: 7 – 3 = 4 (phần)

Bước 5: Tìm hai số

Số bé = hiệu : hiệu số phần bằng nhau x số phần của số bé

Tuổi An khi đó là: 20 : 4 x 3 = 15 (tuổi)

Số năm để 1/3 tuổi An bằng 1/7 tuổi Mai là: 15 – 8 = 7 (năm)

5. Một lớp học có số học sinh nữ gấp đôi số học sinh nam. Nếu chuyển đi 3 học sinh nữ thì số học sinh nữ hơn số học sinh nam là 7 em. Lớp học đó có số học sinh là: …… học sinh.

Hướng dẫn

Số học sinh nữ hơn số học sinh nam ban đầu là: 7 + 3 = 10 (bạn)

Ta có sơ đồ:

Học sinh nữ: |——-|——-|

Học sinh nam: |——-|

Hiệu số phần bằng nhau là: 2 – 1 = 1 (phần)

Số học sinh nữ lớp đó là: 10 : 1 x 2 = 20 (bạn)

Số học sinh nam là: 20 : 2 = 10 (bạn)

Tổng số học sinh lớp đó là: 20 + 10 = 30 (bạn)

6. Năm nay tuổi mẹ gấp gấp 4 lần tuổi con. Hai năm trước tuổi mẹ hơn tuổi con là 27 tuổi. Tuổi mẹ hiện nay là: …… tuổi; tuổi con hiện nay là: …… tuổi.

Hướng dẫn

Vẽ sơ đồ:

Tuổi con: |———-|

Tuổi mẹ: |———-|———-|———-|———-|

Mẹ hơn con 27 tuổi

Hiệu số phần bằng nhau là: 4 – 1 = 3 (phần)

Tuổi con hiện nay là: 27 : 3 x 1 = 9 (tuổi)

Tuổi mẹ hiện nay là: 9 x 4 = 36 (tuổi)

7. Năm nay con kém mẹ 24 tuổi và tuổi con bằng 1/4 tuổi mẹ. Tuổi con năm nay là : …tuổi.

Hướng dẫn

Vẽ sơ đồ:

Tuổi con: |———-|

Tuổi mẹ: |———-|———-|———-|———-|

Hiệu số phần bằng nhau là: 4 – 1 = 3 (tuổi)

Tuổi con hiện nay là: 24 : 3 x 1 = 8 (tuổi)

8. Một trại nuôi gà có số gà mái hơn số gà trống là 345 con. Sau khi mua thêm 25 con gà trống thì số gà trống bằng 3/7 số gà mái. Tổng số gà lúc đầu là:… con.

Hướng dẫn

Sau khi mua thêm 25 con gà trống thì gà mái nhiều hơn gà trống số con là:

345 – 25 = 320 (con)

Ta có sơ đồ:

Gà trống: |——-|——-|——-|

Gà mái: |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|

Hiệu số phần bằng nhau là: 7 – 3 = 4 (phần)

Số gà trống ban đầu là: 320 : 4 x 3 – 25 = 215 (con)

Số gà mái ban đầu là: 215 + 345 = 560 (con)

Tổng số gà ban đầu là: 215 + 560 = 775 (con)

9. Tổ 1 trồng nhiều hơn tổ 2 là 22 cây. Nếu tổ 1 trồng thêm 2 cây và tổ 2 bớt đi 3 cây thì tỉ số cây trồng được của 2 tổ là 7/4.Tổ 1 trồng được : ….cây; Tổ 2 trồng được :….cây

Hướng dẫn

Hiệu mới số cây trồng được của hai tổ là: 22 + 2 + 3 = 27 (cây)

Ta có sơ đồ số cây trồng được của hai tổ lúc sau là:

Tổ 2: |——-|——-|——-|——-|

Tổ 1: |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|

Hiệu số phần bằng nhau là: 7 – 4 = 3 (phần)

Số cây tổ 1 lúc sau là: 27 : 3 x 7 = 63 (cây)

Số cây tổ 1 thực tế trồng được là: 63 – 2 = 61 (cây)

Số cây tổ 2 thực tế trồng được là: 61 – 22 = 39 (cây)

10. Số thứ nhất hơn số thứ hai là 51. Nếu thêm 18 đơn vị vào số thứ nhất thì số thứ nhất gấp 4 lần thứ hai. Số thứ nhất là:……..; số thứ hai là: ……..

Hướng dẫn

Nếu thêm 18 đơn vị vào số thứ nhất thì số thứ nhất hơn số thứ hai số đơn vị là: 51 + 18 = 69

Coi số thứ nhất là 4 phần số thứ hai là 1 phần

Hiệu số phần bằng nhau là: 4 – 1 = 3 (phần)

Số thứ hai là: 69 : 3 x 1 = 23

Số thứ nhất là: 23 + 51 = 74

11. Hiệu của hai số là 54, thương của hai số là 7. Tổng của hai số là: …..

Hướng dẫn

Thương hai số là 7 suy ra số bé =1/7 số lớn

Vẽ sơ đồ:

số bé: |——-|

số lớn: |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|

Hiệu số phần bằng nhau là: 7 – 1 = 6 (phần)

Số bé là: 54 : 6 x 1 = 9

Số lớn là: 54 + 9 = 63

Tổng của hai số là: 63 + 9 = 72

12. Có 2 hộp kẹo, biết 1/5 số kẹo trong hộp thứ nhất bằng 1/3 số kẹo trong hộp thứ hai. Biết hộp thứ nhất hơn hộp thứ hai 46 cái . Cả hai hộp có …. cái kẹo.

Hướng dẫn

Vẽ sơ đồ:

Hộp thứ 1: |——–|——–|——–|——–|——–|

Hộp thứ 2: |——–|——–|——–|

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 3 = 2 (phần)

Tổng số phần bằng nhau là: 5 + 3 = 8 (phần)

Cả hai hộp có số kẹo là: 46 : 2 x 8 = 184 (cái)