Skip to content
 1900.6568

Trụ sở chính: Số 89, phố Tô Vĩnh Diện, phường Khương Trung, quận Thanh Xuân, thành phố Hà Nội

  • DMCA.com Protection Status
Home

  • Trang chủ
  • Về Luật Dương Gia
  • Lãnh đạo công ty
  • Đội ngũ Luật sư
  • Chi nhánh 3 miền
    • Trụ sở chính tại Hà Nội
    • Chi nhánh tại Đà Nẵng
    • Chi nhánh tại TPHCM
  • Pháp luật
  • Văn bản
  • Giáo dục
  • Bạn cần biết
  • Liên hệ Luật sư
    • Luật sư gọi lại tư vấn
    • Chat Zalo
    • Chat Facebook

Home

Đóng thanh tìm kiếm

  • Trang chủ
  • Đặt câu hỏi
  • Đặt lịch hẹn
  • Gửi báo giá
  • 1900.6568
Trang chủ Giáo dục

Các dạng bài tập phương trình tiếp tuyến cơ bản, nâng cao

  • 02/06/202502/06/2025
  • bởi Cao Thị Thanh Thảo
  • Cao Thị Thanh Thảo
    02/06/2025
    Theo dõi chúng tôi trên Google News

    Phương trình tiếp tuyến là một kiến thức trọng tâm trong Toán học 11. Bài viết dưới đây với chủ đề Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải sẽ giúp các em học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

      Mục lục bài viết

      • 1 1. Dạng bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm:
      • 2 2. Dạng bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k:
      • 3 3. Dạng bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước:

      1. Dạng bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm:

      * Phương pháp giải:

      Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

      y =  f’(x0) . (x – x0) + f(x0)

      Trong đó:

      M0 (x0; y0) gọi là tiếp điểm.

      k = f'(x0) là hệ số góc.

      * Để viết phương trình tiếp tuyến của một đồ thị hàm số tại một điểm, bạn cần làm theo các bước sau:

      – Xác định hàm số của đồ thị mà bạn đang xét, ví dụ: f(x) .

      – Tìm tọa độ của tiếp điểm. Giả sử tiếp điểm có tọa độ là (x0, y0).

      – Tính đạo hàm của hàm số tại điểm đó để tìm hệ số góc của tiếp tuyến, tức là f'(x0).

      – Sử dụng công thức của phương trình tiếp tuyến: ( y – y0 = f'(x0) . (x – x0).

      – Thay các giá trị của x0, y0 và f'(x0) vào công thức để có phương trình cụ thể.

      * Chú ý:

      – Nếu cho x0 thì thế vào y = f(x) tìm y0.    

      – Nếu cho y0 thì thế vào y = f(x) tìm x0.

      * Ví dụ minh họa:

      Ví dụ 1: 

      Nếu hàm số là f(x) = x^2 và tiếp điểm là (1, 1), bạn sẽ làm như sau:

      – Tính đạo hàm của hàm số: f'(x) = 2x.

      – Tính hệ số góc tại tiếp điểm: f'(1) = 2.

      – Viết phương trình tiếp tuyến: y – 1 = 2(x – 1).

      Ví dụ 2: 

      Cho hàm số y = x3. Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

      a) Biết tiếp điểm là M(1; 1).

      b) Biết hoành độ tiếp điểm bằng 2.

      c) Biết tung độ tiếp điểm bằng 5.

      Lời giải:

      Đặt f(x) = x³

      Khi đó: f'(x) = 3x²

      a) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ta có: k = f'(1) = 3.

      Xem thêm:  Hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

      Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x – 1) + 1. Hay y = 3x – 2.

      b) Gọi M (xM; yM) là tiếp điểm. 

      Hoành độ tiếp điểm xM = 2 nên tung độ yM = (xM)³ = 8. Vậy M(2; 8). 

      Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M suy ra k = f'(2) = 12

      Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 12(x – 2) + 8. Hay y = 12x – 16.

      c) Gọi M (xM; yM) là tiếp điểm.

      Tung độ tiếp điểm yM = 5 ⇒ (xM)³ = 5 ⇒

      Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒

      Phương trình tiếp tuyến tại M là: .

      2. Dạng bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k:

      * Phương pháp giải:

      Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm khi biết hệ số góc k, bạn có thể làm theo các bước sau:

      – Xác định hàm số f(x) mà bạn đang xét.

      – Tìm điểm (x0, f(x0)) trên đồ thị mà tại đó bạn muốn viết phương trình tiếp tuyến.

      – Sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến: y = f(x0) + k. (x – x0), trong đó:

      + y là giá trị của hàm số tại điểm cần tìm.

      + f(x0) là giá trị của hàm số tại x0.

      + k là hệ số góc đã cho.

      + x là biến số.

      * Chú ý:

      – Cho hai đường thẳng: d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2x + b2, với a1, a2 lần lượt là hệ số góc của d1 và d2. Khi đó: 

      – Hệ số góc của đường thẳng (d) y = ax + b là: kd = a = tanα với α là góc nằm bên trên trục hoành tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.

      Khi a > 0, ta có kd = tanα = a.

      Khi a < 0, ta có kd = tan(180° − α).

      * Ví dụ minh họa:

      Ví dụ 1: 

      Nếu hàm số là f(x) = x² và bạn muốn tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = 1 với hệ số góc k = 2, bạn sẽ có:

      – Tính giá trị của hàm số tại x0: f(1) = 1² = 1.

      – Thay các giá trị vào công thức: y = 1 + 2(x – 1).

      – Đơn giản hóa phương trình: y = 2x – 1.

      Xem thêm:  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

      Phương trình y = 2x – 1 chính là phương trình tiếp tuyến cần tìm. 

      Ví dụ 2: 

      Cho hàm số y = f(x) = ⅓.x³ – ½.x² + 1 có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

      a) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.

      b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = – ⅙.x + 1.

      c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’): y = 2020.

      Lời giải: 

      Ta có y’ = f'(x) = x2 – x.

      a) Gọi M (x0;y0) ∈ (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

      ⇒ f'(x0) = 2 ⇔

      * Với x0 = 2 ta có: y0 = f (0) = ⅓.2³ – ½.2² + 1 = 5/3 => M1 (2;5/3).

      Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M1 (2;5/3) là y = 2.(x – 2) + 5/3 hay y = 2x – 7/3.

      * Với x0 = – 1 ta có y0 = f(-1) = ⅙ => M2 (-1;⅙).

      Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M2 (-1;⅙) là y = 2(x + 1) + ⅙ hay y = 2x + 13/6.

      b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

      Do tiếp tuyến vuông góc với (d) y = -⅙.x + 1 nên – ⅙.k = -1 => k = 6.

      Gọi M (x0; y0) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

      * Với x0 = 3 ta có y0 = f(3) = y0 = f(3) = 11/2 ⇒ M1 (3;11/2) ∈ C.

      Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1 (3;11/2) là y = 6(x – 3) + 11/2 hay y = 6x – 25/2.

      * Với x0 = – 2 ta có y0 = f(−2) = -11/3⇒ M2 (-2; -11/3) ∈ C.

      Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M2 (-2; -11/3) là y = 6(x + 2) – 11/3 hay y = 6x + 25/3.

      c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

      Do tiếp tuyến song song với (d’) : y = 2020 với hệ số góc 

      ⇒ k = 0

      Gọi M (x0; y0) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0 .

      ⇒ f'(x0) = 0 ⇔

      * Với x0 = 0 ta có y0 = f(0) = 1 ⇒ M1(0;1) ∈ (C).

      Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1(0; 1) là y = 1.

      * Với x0 = 1 ta có y0 = f(1) = ⅚ => M2 (1;⅚) ∈ (C).

      Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M2 (1;⅚) là y = ⅚.

      Xem thêm:  Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng

      3. Dạng bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước:

      * Phương pháp giải:

      Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cho trước, bạn cần thực hiện các bước sau:

      – Xác định hàm số của đồ thị mà bạn đang xét. Ví dụ: f(x) = x².

      – Tìm tọa độ của điểm mà tiếp tuyến sẽ đi qua. Giả sử điểm đó có tọa độ là (x0, y0).

      – Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. Ví dụ: f'(x0) .

      – Sử dụng công thức của phương trình tiếp tuyến: y – y0 = f'(x0)(x – x0).

      – Thay các giá trị đã tìm được vào công thức để có phương trình tiếp tuyến cụ thể.

      * Ví dụ minh họa:

      Ví dụ 1:

      Cho hàm số là ( f(x) = x^2 ) và điểm cho trước là ( (2, 4) ), chúng ta có:

      – Tính đạo hàm của hàm số: f'(x) = 2x.

      – Tính đạo hàm tại điểm  x0 = 2: f'(2) = 4.

      – Viết phương trình tiếp tuyến: y – 4 = 4(x – 2).

      Kết quả, phương trình tiếp tuyến là y = 4x – 4.

      Ví dụ 2: 

      Cho hàm số y = 4×3 – 6×2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(– 1; – 9).

      Lời giải:

      Gọi A (x0: 4×0³ – 6×0² + 1) là tiếp điểm của của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

      f'(x) = 12×2 – 12x.

      Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là 

      d: y = (12×0² – 12×0) . (x – x0) + 4×0³ – 6×0² + 1.

      Vì M ∈ d nên: -9 = (12×0² – 12×0) . (-1 – x0) + 4×0³ -6×0² + 1.

      ⇔-8×0³ – 6×0² + 12x⁰ + 10 =0 ⇔

      Với A (5/4; -9/16), ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 15/4x – 21/16.

      Với A (−1;−9), ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15.

      THAM KHẢO THÊM:

      • 5269831703109647.jpg
      • viet-thu-tham-hoi-chuc-mung-sinh-nhat-me-chon-loc-hay-nhat.jpg
      • Dàn ý phân tích, cảm nhận bài thơ Cảnh ngày hè hay nhất

      Trên đây là bài viết của Luật Dương Gia về Các dạng bài tập phương trình tiếp tuyến cơ bản, nâng cao thuộc chủ đề Phương trình tiếp tuyến, thư mục Giáo dục. Mọi thắc mắc pháp lý, vui lòng liên hệ Tổng đài Luật sư 1900.6568 hoặc Hotline dịch vụ 037.6999996 để được tư vấn và hỗ trợ.

      Duong Gia Facebook Duong Gia Tiktok Duong Gia Youtube Duong Gia Google

        Liên hệ với luật sư để được hỗ trợ

      •   Tư vấn pháp luật qua Email
         Tư vấn nhanh với Luật sư
      CÙNG CHỦ ĐỀ
      ảnh chủ đề

      Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

      Tiếp tuyến là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9. Vậy cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm như thế nào? Hãy cùng theo dõi trong bài viết dưới đây, đừng bỏ lỡ nhé!

      ảnh chủ đề

      Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng

      Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng là kiến thức rất quan trọng trong Toán học lớp 11. Bài viết dưới đây với chủ đề Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

      ảnh chủ đề

      Hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

      Phương trình tiếp tuyến của đường cong là một phương trình xác định đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm cụ thể trên đường cong đó. Đường thẳng tiếp tuyến này có đặc điểm là có cùng đạo hàm như đường cong tại điểm tiếp xúc đó. Dưới đây là bài viết hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đường cong.

      Xem thêm

      -
      CÙNG CHUYÊN MỤC
      • NATO là gì? Tổ chức Hiệp ước Bắc Đại Tây Dương (NATO)
      • Phân tích văn bản Viên tướng trẻ và con ngựa trắng
      • Bàn tay mở rộng trao ban tâm hồn mới tràn ngập vui sướng
      • Viết một sáng kiến kinh nghiệm nhằm thúc đẩy việc đọc sách
      • Các dạng bài tập cân bằng phương trình oxi hóa khử hay gặp
      • Thuyết minh Vườn quốc gia Cát Tiên (Đồng Nai) hay nhất
      • Phân tích và cảm nhận về chân dung Đô-xtôi-ép-ki hay nhất
      • Cây công nghiệp lâu năm được phát triển ở Đồng bằng sông Cửu Long là?
      • Xuất hay suất? Sơ xuất hay sơ suất? Xuất quà hay suất quà?
      • Viết 4 – 5 câu về tình cảm của em với một người thân
      • Thiên Địa Hội là gì? Nghĩa Hoà Đoàn là gì? Có vai trò gì?
      • Trình bày ý kiến về: Những lưu ý khi sử dụng ChatGPT
      BÀI VIẾT MỚI NHẤT
      • Dịch vụ Luật sư đăng ký thành lập trung tâm ngoại ngữ
      • Dịch vụ xin cấp giấy phép lao động cho người nước ngoài
      • Dịch vụ xin cấp thẻ tạm trú cho người nước ngoài trọn gói
      • NATO là gì? Tổ chức Hiệp ước Bắc Đại Tây Dương (NATO)
      • Sáng kiến kinh nghiệm phát triển văn hóa đọc cho cộng đồng
      • Khóc nhiều sẽ bị gì? Khóc nhiều quá thì có bị mù không?
      • Dịch vụ đại diện xử lý xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ
      • Dịch vụ gia hạn hiệu lực văn bằng bảo hộ sở hữu trí tuệ
      • Dịch vụ đăng ký bảo hộ nhãn hiệu quốc tế uy tín trọn gói
      • Dịch vụ đăng ký thương hiệu, bảo hộ logo thương hiệu
      • Dịch vụ đăng ký nhãn hiệu, bảo hộ nhãn hiệu độc quyền
      • Luật sư bào chữa các tội liên quan đến hoạt động mại dâm
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Tư vấn pháp luật
      • Tư vấn luật tại TPHCM
      • Tư vấn luật tại Hà Nội
      • Tư vấn luật tại Đà Nẵng
      • Tư vấn pháp luật qua Email
      • Tư vấn pháp luật qua Zalo
      • Tư vấn luật qua Facebook
      • Tư vấn luật ly hôn
      • Tư vấn luật giao thông
      • Tư vấn luật hành chính
      • Tư vấn pháp luật hình sự
      • Tư vấn luật nghĩa vụ quân sự
      • Tư vấn pháp luật thuế
      • Tư vấn pháp luật đấu thầu
      • Tư vấn luật hôn nhân gia đình
      • Tư vấn pháp luật lao động
      • Tư vấn pháp luật dân sự
      • Tư vấn pháp luật đất đai
      • Tư vấn luật doanh nghiệp
      • Tư vấn pháp luật thừa kế
      • Tư vấn pháp luật xây dựng
      • Tư vấn luật bảo hiểm y tế
      • Tư vấn pháp luật đầu tư
      • Tư vấn luật bảo hiểm xã hội
      • Tư vấn luật sở hữu trí tuệ
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Tư vấn pháp luật
      • Tư vấn luật tại TPHCM
      • Tư vấn luật tại Hà Nội
      • Tư vấn luật tại Đà Nẵng
      • Tư vấn pháp luật qua Email
      • Tư vấn pháp luật qua Zalo
      • Tư vấn luật qua Facebook
      • Tư vấn luật ly hôn
      • Tư vấn luật giao thông
      • Tư vấn luật hành chính
      • Tư vấn pháp luật hình sự
      • Tư vấn luật nghĩa vụ quân sự
      • Tư vấn pháp luật thuế
      • Tư vấn pháp luật đấu thầu
      • Tư vấn luật hôn nhân gia đình
      • Tư vấn pháp luật lao động
      • Tư vấn pháp luật dân sự
      • Tư vấn pháp luật đất đai
      • Tư vấn luật doanh nghiệp
      • Tư vấn pháp luật thừa kế
      • Tư vấn pháp luật xây dựng
      • Tư vấn luật bảo hiểm y tế
      • Tư vấn pháp luật đầu tư
      • Tư vấn luật bảo hiểm xã hội
      • Tư vấn luật sở hữu trí tuệ
      Dịch vụ luật sư uy tín toàn quốc

      CÙNG CHỦ ĐỀ
      ảnh chủ đề

      Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

      Tiếp tuyến là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9. Vậy cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm như thế nào? Hãy cùng theo dõi trong bài viết dưới đây, đừng bỏ lỡ nhé!

      ảnh chủ đề

      Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng

      Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng là kiến thức rất quan trọng trong Toán học lớp 11. Bài viết dưới đây với chủ đề Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

      ảnh chủ đề

      Hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

      Phương trình tiếp tuyến của đường cong là một phương trình xác định đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm cụ thể trên đường cong đó. Đường thẳng tiếp tuyến này có đặc điểm là có cùng đạo hàm như đường cong tại điểm tiếp xúc đó. Dưới đây là bài viết hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đường cong.

      Xem thêm

      Tags:

      Phương trình tiếp tuyến


      CÙNG CHỦ ĐỀ
      ảnh chủ đề

      Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

      Tiếp tuyến là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9. Vậy cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm như thế nào? Hãy cùng theo dõi trong bài viết dưới đây, đừng bỏ lỡ nhé!

      ảnh chủ đề

      Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng

      Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng là kiến thức rất quan trọng trong Toán học lớp 11. Bài viết dưới đây với chủ đề Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

      ảnh chủ đề

      Hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

      Phương trình tiếp tuyến của đường cong là một phương trình xác định đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm cụ thể trên đường cong đó. Đường thẳng tiếp tuyến này có đặc điểm là có cùng đạo hàm như đường cong tại điểm tiếp xúc đó. Dưới đây là bài viết hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đường cong.

      Xem thêm

      Tìm kiếm

      Duong Gia Logo

      •   Tư vấn pháp luật qua Email
         Tư vấn nhanh với Luật sư

      VĂN PHÒNG HÀ NỘI:

      Địa chỉ: 89 Tô Vĩnh Diện, phường Khương Trung, quận Thanh Xuân, thành phố Hà Nội, Việt Nam

       Điện thoại: 1900.6568

       Email: dichvu@luatduonggia.vn

      VĂN PHÒNG MIỀN TRUNG:

      Địa chỉ: 141 Diệp Minh Châu, phường Hoà Xuân, quận Cẩm Lệ, thành phố Đà Nẵng, Việt Nam

       Điện thoại: 1900.6568

       Email: danang@luatduonggia.vn

      VĂN PHÒNG MIỀN NAM:

      Địa chỉ: 227 Nguyễn Thái Bình, phường 4, quận Tân Bình, thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam

       Điện thoại: 1900.6568

        Email: luatsu@luatduonggia.vn

      Bản quyền thuộc về Luật Dương Gia | Nghiêm cấm tái bản khi chưa được sự đồng ý bằng văn bản!

      Chính sách quyền riêng tư của Luật Dương Gia

      • Chatzalo Chat Zalo
      • Chat Facebook Chat Facebook
      • Chỉ đường picachu Chỉ đường
      • location Đặt câu hỏi
      • gọi ngay
        1900.6568
      • Chat Zalo
      Chỉ đường
      Trụ sở chính tại Hà NộiTrụ sở chính tại Hà Nội
      Văn phòng tại Đà NẵngVăn phòng tại Đà Nẵng
      Văn phòng tại TPHCMVăn phòng tại TPHCM
      Gọi luật sư Gọi luật sư Yêu cầu dịch vụ Yêu cầu dịch vụ
      • Gọi ngay
      • Chỉ đường

        • HÀ NỘI
        • ĐÀ NẴNG
        • TP.HCM
      • Đặt câu hỏi
      • Trang chủ
      ID: 34230