Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Bài tập Toán lớp 8 Bài 4)

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn:

Câu 1: Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn:

a) 2x – 3 < 0;

b) 0.x + 5 > 0;

c) 5x – 15 ≥ 0;

d) x2 > 0.

Lời giải

– Bất phương trình a), c) là các bất phương trình bậc nhất một ẩn.

– Bất phương trình b) có a = 0 không thỏa mãn điều kiện a ≠ 0 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

– Bất phương trình d) có mũ ở ẩn x là 2 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

a) x + 12 > 21;

b) -2x > -3x – 5.

Lời giải

a) x + 12 > 21 <=> x > 21 – 12 <=> x > 9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x + 12 > 21 là {x|x > 9}

b) -2x > -3x – 5 <=> -2x + 3x > -5 <=> x > -5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -2x > -3x – 5 là {x|x > -5}

Câu 3: Giải các bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân):

a) 2x < 24;

b) -3x < 27.

Lời giải

a) 2x < 24 <=> 2x. 1/2 < 24.1/2 (nhân cả hai vế với 1/2 > 0, BPT không đổi dấu))

<=> x < 12

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x < 24 là {x|x < 12}

b) -3x < 27 <=> -3x.-1/3 > 27.-1/3 (nhân cả hai vế với -1/3 < 0, BPT đổi dấu)

<=> x > -9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x < 27 là {x|x > -9}

Câu 4: Giải bất phương trình – 4x – 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Lời giải

-4x – 8 < 0 <=> -4x < 8

<=> -4x : (- 4) > 8: (- 4) <=> x > -2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -4x – 8 < 0 là {x|x > -2}

2. Giải bài tập toán 8 Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn:

Bài 19: Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế):

a) x – 5 > 3

b) x – 2x < -2x + 4

c) -3x > -4x + 2

d) 8x + 2 < 7x – 1

Lời giải:

(Áp dụng quy tắc: chuyển vế – đổi dấu)

a) x – 5 > 3

<=> x > 3 + 5 (chuyển -5 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành 5)

<=> x > 8.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 8.

b) x – 2x < -2x + 4

<=> x – 2x + 2x < 4

<=> x < 4

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 4.

c) -3x > -4x + 2

<=> -3x + 4x > 2

<=> x > 2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2.

d) 8x + 2 < 7x – 1

<=> 8x – 7x < -1 – 2

<=> x < -3

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -3.

Bài 20: Giải các bất phương trình (theo quy tắc nhân):

a) 0,3x > 0,6;    

b) -4x < 12

c) -x > 4;    

d) 1,5x > -9

Lời giải:

a) 0,3x > 0,6

<=> 0,3.x.1/0,3 >0,6.1/0,3  (Nhân cả 2 vế với 1/0,3>0 , BĐT không đổi chiều).

<=> x > 2.

Vậy BPT có tập nghiệm x > 2.

b) -4x < 12

<=> -4x.-1/4 > 12./1/4  (Nhân cả 2 vế với -1/4<0 , BĐT đổi chiều).

<=> x > -3.

Vậy BPT có tập nghiệm x > -3.

c) –x > 4

<=> (-x).(-1) < 4.(-1) (Nhân cả hai vế với -1 < 0, BĐT đổi chiều).

<=> x < -4.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm x < -4.

d) 1,5x > -9

<=> 1,5x.1/1,5 > -9.1/1,5  (Nhân cả hai vế với 1/1,5 >0 , BĐT không đổi chiều).

<=> x > -6

Vậy bất phương trình có tập nghiệm x > -6

Bài 21: Giải thích sự tương đương sau:

a) x – 3 > 1 <=> x + 3 > 7

b) -x < 2 <=> 3x > -6

Lời giải:

a) x – 3 > 1

<=> x – 3 + 6 > 1 + 6 (Cộng 6 vào cả hai vế).

Hay x + 3 > 7..

Vậy hai bpt trên tương đương.

b) –x < 2

<=> (-x).(-3) > 2.(-3) (Nhân cả hai vế với -3 < 0, BPT đổi dấu)

<=> 3x > -6.

Vậy hai BPT trên tương đương.

Bài 22: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 1,2x < -6 ;    

b) 3x + 4 > 2x + 3

Lời giải:

a) 1,2x < -6

<=>1,2 x : 1,2 < -6 : 1,2

<=> x < – 5

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -5.

b) 3x + 4 > 2x + 3

<=> 3x – 2x > 3 – 4 (chuyển vế 2x và 4, đổi dấu hạng tử).

<=> x > -1

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > -1

Bài 23: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 2x – 3 > 0 ;    

b) 3x + 4 < 0

c) 4 – 3x nhỏ hơn hoặc bằng 0 ;    

d) 5 – 2x lơn hơn hoặc bằng 0

Lời giải:

a) 2x – 3 > 0

<=> 2x > 3 (Chuyển vế -3).

<=>  x > 3/2 (Chia cả hai vế cho 2 > 0, BĐT không đổi chiều).

Vậy BPT có nghiệm x>2/3

b) 3x + 4 < 0

<=> 3x < -4 (chuyển vế 4).

<=>  x<-4/3 (Chia cả hai vế cho 3 > 0).

Vậy BPT có tập nghiệm x<-4/3

c) 4 – 3x nhỏ hơn hoặc bằng 0

<=> -3x nhỏ hơn hoặc bằng  -4 (Chuyển vế hạng tử 4).

<=> x nhỏ hơn hoặc bằng 4/3 (Chia cả hai vế cho -3 < 0, BPT đổi chiều).

Vậy BPT có tập nghiệm x lớn hơn hoặc bằng  4/3

d) 5 – 2x lớn hơn hoặc bằng  0

<=> -2x lớn hơn hoặc bằng -5 (Chuyển vế hạng tử 5).

<=> x nhỏ hơn hoặc bằng 5/2 (Chia cả hai vế cho -2 < 0, BĐT đổi chiều).

Vậy BPT có nghiệm x nhỏ hơn hoặc bằng 5/2

Bài 24: Giải các bất phương trình:

a) 2x – 1 > 5 ;    

b) 3x – 2 < 4

c) 2 – 5x nhỏ hơn hoặc bằng 17 ;    

d) 3 – 4x lớn hơn hoặc bằng 19

Lời giải:

a) 2x – 1 > 5

<=> 2x > 1 + 5 (Chuyển vế và đổi dấu hạng tử -1)

<=> 2x > 6

<=> x > 3 (Chia cả hai vế cho 2 > 0, BPT không đổi chiều).

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3.

b) 3x – 2 < 4

<=> 3x < 4 + 2 (Chuyển vế và đổi dấu hạng tử -2)

<=> 3x < 6

<=> x < 2 (Chia cả hai vế cho 3 > 0, BPT không đổi chiều).

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2.

c) 2 – 5x nhỏ hơn hoặc bằng 17

<=> -5x nhỏ hơn hoặc bằng 17 – 2 (Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 2)

<=> -5x nhỏ hơn hoặc bằng 15

<=> x lớn hơn hoặc bằng -3 (Chia cả hai vế cho -5 < 0, BPT đổi chiều).

Vậy nghiệm của bất phương trình là x lớn hơn hoặc bằng – 3

d) 3 – 4x lớn hơn hoặc bằng 19

<=> -4x lớn hơn hoặc bằng 19 – 3 (Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 3)

<=> -4x lớn hơn hoặc bằng 16

<=> x nhỏ hơn hoặc bằng -4 (Chia cả hai vế cho -4 < 0, BPT đổi chiều).

Vậy nghiệm của bất phương trình là x nhỏ hơn hoặc bằng -4

Bài 25: Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Kể ba bất phương trình có cùng tập nghiệm).

Lời giải:

a) Hình a) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình:

x nhỏ hơn hoặc bằng 12 hoặc x + 4 nhỏ hơn hoặc bằng 16 hoặc 2x + 1 nhỏ hơn hoặc bằng 25

b) Hình biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình:

x lớn hơn hoặc bằng 8 hoặc x + 3 lớn hơn hoặc bằng 11 hoặc 3 – 2x nhỏ hơn hoặc bằng -13.

Bài 26: Đố: Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không?

a) x + 2×2 – 3×3 + 4×4 – 5 < 2×2 – 3×3 + 4×4 – 6;

b) (-0,001)x > 0,003.

Lời giải:

a) x + 2×2 – 3×3 + 4×4 – 5 < 2×2 – 3×3 + 4×4 – 6

<=> x < 2×2 – 3×3 + 4×4 – 6 – 2×2 + 3×3 – 4×4 + 5 (chuyển vế – đổi dấu)

<=> x < -1 (*)

Vì -2 < -1 nên -2 là nghiệm của bất phương trình

Vậy x = -2 là nghiệm của bất phương trình.

b) (-0,001)x > 0,003

<=> x < -3 (chia cả hai vế cho -0,001)

Vì -2 > -3 nên -2 không phải nghiệm của bất phương trình

Vậy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình.

3. Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất:

Định nghĩa: Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 ) trong đó a và b là hai số đã cho, a ne 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

– Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.

– Quy tắc nhân với một số.

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.