Bài tập về tìm tập xác định của Hàm số mũ Lũy thừa Logarit

1. Lý thuyết về tìm tập xác định của Hàm số mũ, Lũy thừa:

– Hàm số lũy thừa có tập xác định phụ thuộc vào lũy thừa. Có 3 trường hợp khác nhau về lũy thừa ảnh hưởng đến tập xác định là:

+ Lũy thừa với số mũ nguyên dương

+ Lũy thừa số mũ nguyên không dương

+ Lũy thừa số mũ không nguyên.

– Phương pháp tính tập xác định của hàm số lũy thừa: Đối với hàm số lũy thừa có tập xác định như sau:

+ a nguyên dương:

+ a nguyên âm hoặc

+ a không nguyên:

– Có thể hiểu đơn giản, tập xác định của hàm số y = a^x (với a là một số thực và a > 0) chỉ bao gồm các giá trị x là số thực. Nếu a < 1 thì giá trị của hàm số sẽ tiến tới 0 khi x tiến đến vô cùng âm, nếu a > 1 thì giá trị của hàm số sẽ tiến tới vô cùng khi x tiến đến vô cùng dương.

– Ngoài ra, nếu a = 1 thì hàm số y = a^x trở thành hàm số y = 1^x = 1, tập xác định của hàm số này là tất cả các giá trị của x. Nếu a = 0 và x < 0 thì hàm số y = a^x không có giá trị hợp lệ, tập xác định của hàm số này chỉ bao gồm các giá trị x là số thực và x >= 0

– Hàm số mũ là hàm số có dạng $.$

– Tập xác định: R

– Đạo hàm: Mọi x thuộc R thì $y^{\prime }=a^x\ln a$

$\mathrm{–\; Phương\; pháp\; tính\; đạo\; hàm\; của\; hàm\; số\; mũ:}$

$\mathrm{–\; Đối\; với\; hàm\; số\; mũ\; có\; tập\; xác\; định\; trên.}$$\mathrm{Nên\; khi\; bài\; toán}$$\mathrm{yêu\; cầu\; tìm\; tập\; xác\; định\; của\; hàm\; số\; mũ\; ta\; chỉ\; cần\; tìm\; điều\; kiện\; để\; có}$

$\mathrm{nghĩa\; (xác\; định).}$

Ví dụ, tập xác định của hàm số y = 2^x là tất cả các giá trị của x (bao gồm cả số âm và số thực).

*Tập xác định hàm lũy thừa: 

Hàm số lũy thừa là loại hàm số mũ có dạng y = a^x, trong đó a là số mũ, x là biến và y là giá trị của hàm số. Tập xác định của hàm số lũy thừa là tất cả các giá trị của x, vì a là số mũ luôn luôn lớn hơn 0.

Vì vậy khi chúng ta gặp bài toán tìm tập xác định của hàm số: y = a^u(x)(a>0, a#1)

Thì ta chỉ viết điều kiện để cho u(x) xác định.

Hàm số lũy thừa có rất nhiều ứng dụng trong toán học và khoa học máy tính, chúng được sử dụng trong các tính toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia và các tính toán phức tạp hơn như tìm số mũ, tìm logarit và xử lý dữ liệu.

• Xác định giá trị của a: nếu a > 0, tập xác định của hàm số chỉ bao gồm các giá trị x là số thực. Nếu a = 0 và x < 0, hàm số không có giá trị hợp lệ.
• Xác định giá trị của x: nếu a > 1, giá trị của hàm số sẽ tiến tới vô cùng khi x tiến đến vô cùng dương. Nếu a < 1, giá trị của hàm số sẽ tiến tới 0 khi x tiến đến vô cùng âm.
• Xác định tập xác định của hàm số: Là tập tất cả các giá trị x thỏa mãn điều kiện trên.

Cách xác định tập xác định của hàm số mũ y = a^x các em sẽ thực hiện theo 3 bước:

2. Lý thuyết về tìm tập xác định của Hàm số Logarit:

Hàm số có dạng y = log₂^x (0 < a ≠ 1)   .

Tập xác định: D = (0,+∞)  

Tập giá trị: T = R.

Đạo hàm: 

Sự biến thiên: Khi a > 1 hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞) 

Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên khoảng (0,+∞) 

3. Phương pháp giải tìm tập xác định của Hàm số mũ Lũy thừa Logarit:

– Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa: y = u(x)^α, ∀α ∈ R  

Nếu α ∈ Z⁺, hàm số xác định khi u(x) xác định. 

Nếu , hàm số xác định khi u(x) ≠ 0 .

Nếu α ∉ Z, hàm số xác định khi u(x) > 0.

– Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y = xα (α ∈ R). Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α:

– Nếu α nguyên dương thì tập các định là R

– Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì tập các định là R∖{0}

– Nếu α không nguyên thì tập các định là (0; +∞).

* Lưu ý: 

–  Hàm số y = √x có tập xác định là [0; +∞).

– Hàm số y = 3√x có tập xác định R, trong khi đó các hàm y = x½, y = x1/3 đều có tập xác định (0; +∞).

– Tìm tập xác định của hàm số logarit:

Dựa vào định nghĩa logarit log_ab xác định  

4 Bài tập vận dụng tìm tập xác định của Hàm số mũ Lũy thừa Logarit:

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số: 

Đáp án : Hàm số đã cho xác định khi {9−x2>0x−1>0⇔{−3<x<3x>1⇔1<x<3. Vậy D=(1;3). Do đó đáp án cần tìm là đáp án B.

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số sau:

Ta có: −log100=−2∈Z−⇒ hàm số y=(x2−x−2)−log100 xác định khi x2−x−2≠0⇔{x≠−1; x≠2.}

Vậy D=R∖{−1;2}.  Do đó đáp án cần tìm là đáp án C.

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số sau: 

Do 32x+1>0(∀x∈R);e∉Z nên hàm số y=(x−x2)e+√32x+1 xác định khi x−x2>0⇔0<x<1.

Vậy D=(0;1). Do đó đáp án cần tìm là đáp án B. 

Ví dụ 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. y=x3

b. y=x½

c. y=x-√3

d. y=e√2×2- 8

a. y=x3 vì 3 là số nguyên dương nên tập xác định của hàm số là: D = R

Vậy hàm số có tập xác định là D=R

b. y=x½ vì 1/2 là số hữu tỉ, không nguyên nên tập xác định của hàm số là D=left( 0,+∞ )

Vậy hàm số có tập xác định là D=left( 0,+∞ )

c. y=x-√3 vì -√3 là số vô tỉ, không nguyên nên tập xác định của hàm số là: D=( 0,+∞ )

Vậy hàm số có tập xác định là D=( 0,+∞ )

d. Điều kiện xác định của hàm số 2×2– 8 ≥ 0 <=> x ∈ ( – ∞; -4] ∪ [4; +∞)

Vậy tập xác định của hàm số: D = R ( -4, 4 )

Ví dụ 6: Tìm tập xác định D của hàm số

y = (2x – 4) ^-2018

 Lời giải: Hàm số xác định khi và chỉ khi 2x-4 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2

Vậy tập xác định của Hàm số là D=R/{2}

Ví dụ 7: Tìm tập xác định D của hàm số

y = (4 – x) ^3/11

Lời giải: Hàm số xác định khi và chỉ khi 4-x > 0 ⇔ x < 4

Vậy tập xác định của Hàm số là D= (-∞, 4)

Ví dụ 8: Tìm tập xác định của hàm số y = log₂ (5^{x + 2) – 125)}

Lời giải: Hàm số xác định khi 5x+2-125 > 0 ⇔ 5x+2 > 53 ⇔ x > 1.

Vậy tập xác định D=(1;+∞).

Lời giải: Để hàm số y=log⁡(x2-2x-m+1) có tập xác định là R

5. Bài tập trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa, logarit:

Bài 1: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

 A. Đồ thị hàm số y = a^x và đồ thị hàm số y = log_ax đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

B. Hàm số y = a^x với 0 < a < 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

C. Hàm số y = a^xvới a > 1 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

D. Đồ thị hàm số y = a^x với a > 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M (a;1).

Lời giải:

Đáp án: A

Giải thích:

Chọn A

Câu B sai vì hàm số y = a^x với 0 < a < 1 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

Câu C sai vì hàm số y = a^x với a > 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

Câu D sai vì đồ thị hàm số y = ax với a < 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M(a; aa) hoặc M(0;1) chứ không phải M(a;1).

Bài 2: Với a > 0 và a ≠ 1. Phát biểu nào sau đây không đúng?

A. Hai hàm số y = a^x và y = logax có cùng tính đơn điệu

B. Hai hàm số y = a^x và y = log_ax có cùng tập giá trị

C. Đồ thị hai hàm số y = a^x và y = log_ax đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.

D. Đồ thị hai hàm số y = ax và y = log_ax đều có đường tiệm cận

Lời giải:

Đáp án: B

Giải thích:

Tập giá trị của hàm số y = a^x là (0; +∞), tập giá trị của hàm số y = log_ax là R.

Bài 3: Cho hàm số y=(√2-1)^x. Phát biểu nào sau đây là đúng

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung.

D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành

Lời giải:

Đáp án: 

Giải thích:

Vì 0 < √2-1 < 1 nên hàm số y = (√2-1)x nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x² e² trên đoạn [-1;1]

A. 2e

B. 1/e

C. e

D. 0

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Trên đoạn [-1;1], ta có: f’ (x)=xex (x+2); f’ (x)=0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2 (loại).

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2^|x| trên [-2;2]

A. maxy=4; miny=-1/4

B. maxy=4; miny=1/4

C. maxy=1; miny=1/4

D. maxy=4; miny=1

Lời giải:

Đáp án: D

Giải thích : Đặt t = |x|, với x ∈ [-2;2] ⇒ t ∈ [0;2]

Xét hàm f(t) = 2^t trên đoạn [0;2]; f(t) đồng biến trên [0;2]

Hoặc với x ∈ [-2;2] ⇒ |x| ∈ [0;2]. Từ đây, suy ra: 20 ≤ 2|x| ≤ 22 ⇔ 1 ≤ 2|x| ≤ 4

Bài 6: Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f(x)=e2-3x trên đoạn [0;2]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m+M = 1

B. M-m = e.

C. M.m = 1/e2

D. M/m = e2

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].

Đạo hàm f'(x) = -3e^2-3x < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên [0;2].

Bài 7: Chọn khẳng định đúng khi nói về hàm số y=(lnx)/x

A. Hàm số không có cực trị.

B. Hàm số có một điểm cực đại

C. Hàm số có một điểm cực tiểu

D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Lời giải:

Đáp án: C

Giải thích:

Hàm y’ đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=e nên x=e là điểm cực tiểu của hàm số.