Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ (Lý thuyết Toán 10)

1. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ | Lý thuyết Toán 10:

1.1. Elip:

Cho hai điểm cố định và phân biệt . Đặt = 2c > 0 . Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho  được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm được gọi là hai tiêu điểm và  = 2c được gọi là tiêu cự của elip đó.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2), với a > b > 0, đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm , tiêu cự  và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.

Giải

Ta có: a² = 25, b² = 16. Do đó . Vậy elip có hai tiêu điểm là và tiêu cự là . Ta có , nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a= 10.

1.2. Hypebol:

Cho hai điểm phân biệt có định và . Đặt . Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm được gọi là hai tiêu điểm và  được gọi là tiêu cự của hypebol đó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4), với a, b >0, đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm , tiêu cự và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mối điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.

Ví dụ: Cho hypebol có phương trình chính tắc . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

Giải

Ta có . Vậy hypebol có hai tiêu điểm là và có tiêu cự 2c = 10. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng .

1.3. Parabol:

Cho một điểm F có định và một đường thẳng cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và  được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến  được gọi là tham số tiêu của parabol đó.

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn . Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên  . Khi đó, trong hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình

(với p > 0) (5)

Phương trình (5) được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P).

Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm và đường chuẩn .

Ví dụ: Cho parabol (P):  

a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn  của (P).

b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.

Giải

a) Ta có 2p = 1 nên p =

Parabol có tiêu điểm và đường chuẩn

b) Điểm thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi  và MF = 3.

Mặt khác  .

Vậy .

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán với tọa độ là

2. Giải bài tập về Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ sách chân trời sáng tạo:

Bài 1 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Viết phương trình chính tắc của:

a. Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16;

b. Hypebol có tiêu cự 2c = 20 và độ dài trục thực 2a = 12;

c. Parabol có tiêu điểm

Gợi ý đáp án

a. Ta có 2a = 20; 2b = 16 => a=10; b=8.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:

b. Ta có:  

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là:

c. (P) có tiêu điểm => p=1

Vậy parabol (P) có phương trình:

Bài 2 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên là tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng.

Gợi ý đáp án

 Tọa độ các tiêu điểm của

=> Tọa độ tiêu điểm của 

Bài 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Để cắt một bảng quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị:

Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện:

Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván).
Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh vào kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong Hình 15).

Phải ghim hai cái đinh các mép tấm ván ép bao nhiêu xentimet và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Gợi ý đáp án

Ta có:  

=>  Hai cái đinh cách mép chiều dài của tâm ván là 20cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là

Vòng dây có độ dài là

Bài 4 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8m, rộng 20m (Hình 16).

a. Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.

b. Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm.

Gợi ý đáp án

a. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Ta có: b=8m, 2a=20m, -> a=10m

Vậy phương trình của elip (E) là:

b. Điểm A cách chân tường 5m nên A = (5; 0). Ta có độ dài AB chính là khoảng cách từ điểm A đến nóc nhà vòm.

Gọi  Vì   nên thay tọa độ B vào phương trình (E), ta được:  

Vậy AB = 6,9 m.

Bài 5 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình là (Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tấm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Gợi ý đáp án

Theo bài ra ta có: OA + OB = 150m,

Thay y = 60 vào phương trình (H), ta được:

Bán kính nóc bằng 

Thay y = -90 vào phương trình (H), ta được:

 Bán kính đáy bằng

Bài 6 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài 100m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 30m, thanh ngắn nhất là 6 m (Hình 18). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m.

Gợi ý đáp án

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Theo bài ra ta có: AO = 6m, AD = 50 m, BD = 30m điểm B có tọa độ B(24; 50).

Gọi phương trình của parabol (P) là  

Vì  nên thay tọa độ điểm B vào phương trình (P), ta được:

 Phương trình (P) là:

Ta có: Độ dài đoạn ME chính là chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m. Gọi E = (m, 18), vì nên thay tọa độ E vào phương trình P, ta được:

Vậy thanh cáp cách điểm giữa cầu 18m có chiều dài là 9,1104m.

3. Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1. Elip (E):  có độ dài trục lớn bằng:

A. 5;

B. 12;

C. 25;

D. 50.

Đáp án: B

Tổng quát: Phương trình của Elip là     = 1 (a > b > 0), có độ dài trục lớn A₁A₂ = 2a.

Xét

⇒A₁A₂= 2.6 = 12.

Câu 2. Elip (E):4x²+16y² = 1 có độ dài trục bé bằng:

A. 2;

B. 4;

C. 1;

D.  

Đáp án: D

Phương trình của Elip là   = 1 (a > b > 0), có độ dài trục lớn B₁B₂ = 2b.

Xét (E):4x²+16y² = 1 ⇔   = 1

Câu 3. Elip (E): x² + 4y² = 16 có độ dài trục lớn bằng:

A. 1;

B. 2;

C. 5;

D. 8.

Đáp án: D

Gọi phương trình của Elip là  = 1, có độ dài trục lớn A₁A₂ = 2a.

Xét (E):x² + 4y² = 16 ⇔   = 1

⇒ a = 4 ⇒ A₁A₂ = 2.4 = 8.

Câu 4.Trong các phương trình dưới đây là phương trình elip?

Đáp án: D

Xét phương trình(E):   có dạng phương trình phương trình elip với a = 5, b = 12 nhưng không thỏa mãn a > b. Do đó (E) không là elip.

Xét phương trình (F):  = 1 không có dạng của phương trình elip.

Xét phương trình (G):   = x không có dạng của phương trình elip.

Xét phương trình (H):   có dạng của phương trình elip với  thỏa mãn

  >0. Do đó D đúng.

Câu 5. Elip (E):  có tổng độ dài trục lớn và trục bé bằng:

A. 5;

B. 10;

C. 20;

D. 40.

Đáp án: C

Phương trình của Elip là  = 1 có độ dài trục lớn A₁A₂ = 2a và độ dài trục bé là B₁B₂ = 2b.

Xét (E):

⇒ A₁A₂ + B₁B₂ = 2.8 + 2.2 = 20.

Câu 6. Khái niệm nào sau đây định nghĩa về hypebol?

A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến ∆;

B. Cho F₁,F₂ cố định với F₁,F₂  = 2c (c > 0). Hypebol (H) là tập hợp điểm M sao cho |MF₁ – MF₂| = 2a  với a là một số không đổi và a < c;

C. Cho F₁,F₂ cố định với F₁,F₂  = 2c (c > 0) và một độ dài 2a không đổi (a > c). Hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho M∈(P) ⇔ MF₁ + MF₂ = 2a

D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Hypebol .

Đáp án: B

Cho F₁,F₂ cố định với F₁,F₂ = 2c (c > 0). Hypebol (H) là tập hợp điểm M sao cho |MF₁ – MF₂| = 2a  với a là một số không đổi và a < c;

Câu 7. Dạng chính tắc của hypebol là?

Đáp án: B

Dạng chính tắc của hypebol là

Câu 8.Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là  với a, b > 0. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu c² = a²+b² thì (H) có các tiêu điểm là F₁(c; 0), F₂(– c; 0);

B. Nếu c² = a²+b² thì (H) có các tiêu điểm là F₁(0; c), F₂(0; – c);

C. Nếu c² = a²−b² thì (H) có các tiêu điểm là F₁(c;0), F₂(−c;0);

D. Nếu c² = a²−b² thì (H) có các tiêu điểm là F₁(0;c), F₂(0;−c).

Đáp án: A

Nếu c² = a²+b² thì (H) có các tiêu điểm là F₁(c; 0), F₂(– c; 0).

Câu 9.Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là  , với a, b > 0. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng về tỉ số caca?

Đáp án: C

Xét phương trình hypebol . Khi đó

Câu 10.Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là  , với a, b > 0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là A₁(a;0), A₁(−a;0);

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là B₁(0;b), A₁(0;−b);

C. Với c² = a² + b²(c > 0), độ dài tiêu cự là 2c.

D. Với c² = a² + b²(c > 0), độ dài trục lớn là 2b.

Đáp án: D

Hypebol (H) có phương trình chính tắc là  , khi đó:

Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là A₁(a;0), A₁(−a;0) và tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là B₁(0;b), A₁(0;−b). Do đó A đúng, B đúng.

Với c² = a² + b²(c > 0), độ dài tiêu cự là 2c. Do đó C đúng.

Với c² = a² + b²(c > 0), độ dài trục lớn là 2a. Do đó D sai.