Số hữu tỉ là gì? Số vô tỉ là gì? Phân biệt số hữu tỉ và vô tỉ?

1. Nguồn gốc của số vô tỉ và số hữu tỉ: 

Điều này liên quan đến một câu chuyện cũ thú vị. Vào thế kỷ thứ 6 TCN nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras đã sống, người tin rằng trên thế giới chỉ có các số nguyên và tỷ lệ của hai số nguyên (phân số). Ví dụ, một số nguyên hoặc tỷ số của hai số nguyên có thể được sử dụng để chọn các dây có độ dài bằng tỷ lệ của các số nguyên, chẳng hạn như 2:3 hoặc 3:4, thì các hài âm (thang âm: âm phẳng) sẽ được tạo ra. Tóm lại, theo Pythagoras, “mọi thứ trong vũ trụ đều ở dạng số nguyên”.

Nhưng thực tế không phải như vậy. Một hôm, một học sinh hỏi Pythagoras: đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1 có thể được mô tả bằng một số nguyên hoặc bằng tỷ số của hai số nguyên không? Để trả lời câu hỏi này cần phải có bằng chứng. Pythagoras tiếp tục với bằng chứng sau:

Trên hình vẽ trình bày hình vuông cạnh bằng 1 và đường chéo giả sử được biểu diễn bằng số nguyên hay tỉ số của hai số nguyên p/q.

Theo định lí Pithagore ta có:

(p/q)2 = 12 + 12 = 2

hay p2 = 2q2

Theo kết quả trên vì 2q2 là số chẵn nên p2 là số chẵn (p không thể là số lẻ vì một số lẻ bất kì, ví dụ 2n + 1 khi nâng lên bình phương phải là số lẻ: (2n+1)2 = 4n2 + 2n2+1.

Vả lại p và q không có ước số chung nên p đã là số chẵn thì q phải là số lẻ.

Nếu p là số chẵn, ta có thể đặt p = 2a do vậy

– p2 = 4a2 = 2q2 hay

– q2 = 2a2

Chứng tỏ q2 là số chẵn nên q cũng phải là số chẵn; Vì vậy, nó mâu thuẫn với giả thiết được đưa ra ngay từ đầu, và  mâu thuẫn là q vừa là số lẻ vừa là số chẵn. Mâu thuẫn này khiến Pythagoras gặp rắc rối, nhưng nó cũng đưa sự hiểu biết của mọi người về các con số tiến thêm một bước.

Chỉ vì bạn không thể sử dụng một số nguyên hoặc một phân số để đo độ dài đường chéo của hình vuông ở cạnh 1 không có nghĩa là độ dài không tồn tại. Thật vậy, áp dụng định lý Pitago, dễ dàng nhận thấy độ dài đường chéo là căn bậc hai của 2, tức là √2. Do đó, ngoài các số nguyên và phân số (tỷ số của hai số nguyên), một loại số mới đã được phát hiện mà lúc bấy giờ chưa được biết đến. Vì √2 không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên nên người xưa gọi nó là số vô tỉ (không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên).

2. Số hữu tỉ là gì?

Số hữu tỉ là tập hợp các số có thể viết dưới dạng phân số, nghĩa là dưới dạng số hữu tỉ có thể biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Số hữu tỉ được viết là a/b, trong đó a và b là các số nguyên nhưng b phải khác 0.

Q là tập hợp các số hữu tỉ. Vậy ta có: Q={ a/b; a, b∈Z, b≠0}.

Tính chất của số hữu tỉ:

– Tập hợp các số hữu tỉ là tập hợp đếm được. 

– Nhân một số hữu tỉ  dạng a/b x c/d = a.c/ b.d 

– Chia một số hữu tỉ  dạng a/b: c/d = a.d/ b.c 

– Nếu một số hữu tỉ là một số hữu tỉ dương thì số đối của nó là một số hữu tỉ âm và ngược lại. Vậy tổng của một số hữu tỉ và số đối của nó bằng 0.

Chú ý: 

Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương và được biểu diễn bằng dấu chấm nằm bên phải điểm đầu O trên trục số. 

Các số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm và được biểu diễn bằng dấu chấm nằm bên trái điểm bắt đầu O trên trục số. 

Số 0 không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm. 

Ví dụ: 

3/4 – Cả tử số và mẫu số đều là số nguyên.

4 – Có thể được biểu thị bằng 4/1, trong đó 4 là thương số của số nguyên 4 và 1.

√9 – Vì căn bậc hai có thể được đơn giản hóa thành 3, là thương số của phân số 3/1.

0, 5 – Có thể được viết là 5/10 hoặc 1/2 và tất cả các số thập phân kết thúc là hợp lý.

0.7777777777- Tất cả các số thập phân định kỳ là hợp lý.

3. Quy tắc cộng, trừ các số hữu tỉ:

Quy tắc cộng, trừ các số hữu tỉ: Khi cộng, trừ một số hữu tỉ, muốn chuyển một số hạng sang vế kia của cùng một phương trình thì ta phải đổi dấu của số hạng đó.

Tính chất của phép cộng, phép trừ số hữu tỉ: Phép cộng số hữu tỉ có tất cả các tính chất của phép cộng phân số:

– Tính chất giao hoán: x+y=y+x

– Tính chất kết hợp: (x+y)+z=x+(y+z)

– Cộng với số 0: x+0=x

– Mỗi số hữu tỉ bất kỳ đều có một số đối.

– Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Giá trị tuyệt đối của  số hữu tỉ x, kí hiệu |x|, là  khoảng cách từ điểm x đến điểm O trên trục số.

Nếu x > 0 thì |x| = x.

Nếu x = 0 thì |x| = 0.

Nếu x < 0 thì |x| = -x.

4. Số Vô tỉ là gì?

Số vô tỉ là tập hợp các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không lặp lại. Trong toán học, số thực không phải là số hữu tỷ, nó được gọi là số vô tỷ, tức là. họ không thể  được đại diện. /b (a, b là số nguyên).

Ví dụ:

Số √ 2 (căn 2)

Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi như:  

0.1010010001000010000010000001…

Số = 1,41421 35623 04880 73095 16887 24209 7…

Số pi = 3,14159 26535 89793 26433 83279 50288 23846 41971 69399 37510 58209 74944…

Số logarit tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536…

√5 – √5 không thể được đơn giản hóa suy ra nó là không hợp lý.

√5/ 3 – Số đã cho là một phân số, nhưng nó không phải là tiêu chí duy nhất được gọi là số hữu tỷ. Cả tử số và mẫu số đều cần số nguyên và √5 không phải là số nguyên. Do đó, số đã cho là không hợp lý.

5/0 – Phân số có mẫu số 0, là không hợp lý.

π – Vì giá trị thập phân của π là không bao giờ có điểm dừng, không bao giờ lặp lại và không bao giờ hiển thị bất kỳ mẫu nào. Do đó, giá trị của pi không chính xác bằng bất kỳ phân số nào. Cho nên số 22/7 chỉ là gần đúng.

0.3131131113 – Các số thập phân không hề chấm dứt cũng không hề lặp lại. Vì vậy, nó không thể được biểu thị như một thương số của một phân số.

5. Mối quan hệ giữa các tập hợp số:

Mặc dù giữa số hữu tỉ và số vô tỉ có sự khác nhau nhưng giữa chúng có mối quan hệ nhất quán. Để hiểu được mối quan hệ gắn kết giữa các tập hợp số trước hết cần hiểu được ký hiệu các tập hợp số cơ bản sau sau đây:

Ký hiệu các tập hợp số:

N: Tập hợp các số tự nhiên

N*: Tập hợp các số tự nhiên khác 0

Z: Tập hợp các số nguyên

Q: Tập hợp các số hữu tỉ

I: Tập hợp các số vô tỉ

Ta có : R = Q ∪ I.

Tập N ; Z ; Q ; R.

Khi đó quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số là : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

6. Phân biệt giữa số hữu tỉ và vô tỉ:

Số hữu tỉ chứa số thập phân vô hạn lặp lại và số vô tỉ là  số thập phân vô hạn không lặp lại. 

Số hữu tỉ chỉ là phân số còn số vô tỉ có nhiều loại. 

Số hữu tỉ đếm được, số vô tỉ không đếm được.

Số hữu tỉ được định nghĩa là số viết được dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. Số vô tỉ là số không biểu diễn được dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. 

Trong các số hữu tỉ, cả tử số và mẫu số đều là những số nguyên mà mẫu số của nó khác 0. Mặc dù một số vô tỉ không thể  viết dưới dạng phân số. 

Số hữu tỉ bao gồm các số là số chính phương, chẳng hạn như 9, 16, 25, v.v. Mặt khác, các số vô tỷ bao gồm các số dư như 2, 3, 5, v.v.

Số hữu tỉ chỉ chứa các chữ số thập phân hữu hạn và lặp lại. Ngược lại, các số vô tỷ bao gồm những số có phần mở rộng thập phân là vô hạn, không lặp lại và không hiển thị mẫu.

7. Hiểu rõ hơn về căn bậc hai:

Trong toán học, căn bậc hai của một số  không âm a là một số x sao cho x2 = a. Nói cách khác, bình phương của x là = a.

Ví dụ: 5 và −5 là căn bậc hai của 25 vì 52 = (-5)2 = 25. 

Lưu ý: Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai dương của căn bậc hai âm. Chúng được viết ngắn gọn hơn  ±√a.

Mọi số thực không âm a đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, được gọi là căn bậc hai chính, ký hiệu là √a, trong đó √ được gọi là dấu căn. Ví dụ, căn bậc hai của √9 là 3, ký hiệu là 9 = 3 vì 32 = 3 × 3 = 9 và 3 là số âm. 

Mọi số dương a (trừ 0) đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai âm. Chúng được viết tắt là ± √a.