Cấp số cộng là gì? Công sai là gì? Cách tính cấp số cộng?

1. Khái niệm cấp số cộng? Công sai là gì? Ví dụ?

Cấp số cộng là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) các số hạng thỏa mãn điều kiện kể từ số hạng thứ 2 trở đi bằng số hạng đứng trước nó cộng với 1 số không đổi.

Số hạng không đổi đó được gọi là Công sai.

Công thức:

U_n = U_n-1 + d (n>=2)

Ví dụ:

– Dãy hằng với các số hạng không đổi là cấp số số cộng với công sai bằng O.

– Dãi các số tự nhiên 2; 4; 6; 8; 10;… là cấp số cộng với công sai bằng 2.

2. Tính chất cấp số cộng?

Nếu là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số.

Công thức:

Un = (U_n-1 + U_n+1) : 2

Ví dụ:

Ta có 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là: 10; 12; 14

Thì (10+14):2 = 1

3. Tính công sai cấp số cộng?

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Thì công thức tính công sai bằng:

Công thức:

d=U_n+1 – U_n

Ví dụ:

Ta có dãy số  1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4

vì: 25-21=4; 21-17=4;…

4. Số hạng tổng quát của cấp số cộng:

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử  và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức cấp số cộng sau:

U_n=U₁+ (n-1)d

Ví dụ:

Cấp số cộng là 5;9;13;… n. biết dãy số có 7 số hạng.

Khi đó: số hạng thứ n bằng: 5 + 6.4 = 29.

5. Một số công thức khác:

5.1. Công thức liên hệ giữa hai số hạng bất kỳ

U_n=U_m + (n-m)d

5.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n

S_n = U₁+U₂+ …+ U_n = (n(U1+Un)/2)

6. Một số dạng bài tập tính cấp số cộng:

6.1. Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: d=un–un–1,∀n≥2.

Bước 2: Kết luận:

Nếu d là số không đổi thì dãy (un) là CSC.

Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSC.

Ví dụ: Cho dãy số sau: 3;5;7;9;13. Dãy số trên có phải cấp số cộng không?

Công sai dãy số trên là: 5-3=2; 7-5=2; 13-9=4.

Do công sai đã có sự thay đổi.

Do đó, dãy số trên không phải cấp số cộng.

6.2. Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng:

Ví dụ: Cho một cấp số cộng (Un) có U1=1 và tổng 100 số hạng đầu là 24850. Tính công sai?

Ta có S₁₀₀ = 24850

(n(1+ Un)/2) = 24850

U₁₀₀ = 496

Vậy U₁₀₀ = 1= 99d

d= (24850-1)/99

d=5

6.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng:

Cho cấp số cộng U_n có U₁ = 5, d = 4 . Hãy tính U₂₆

Ta có :

U₂₆ = U₁ + (26 – 1) d

= 5 + (26 – 1) x 4

=105

6.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên:

Ví dụ: Một cấp số cộng (u_n) biết rằng số hạng đầu tiên u₁ = 5, số hạng thứ 11 là u₁₁ = 25. Hãy tính tổng 11 số hạng đầu tiên của dãy số này?

Áp dụng công thức Sn=(u1+un)n2

u₁= 5

u₁₁= 25

n =11

Dựa vào công thức trên, ta tính tổng 11 số hạng đầu: Sn=(5+25)2.11=165

6.5. Dạng 5: Tìm cấp số cộng:

Cách làm:

Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.

Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d

Ví dụ: Xác định cấp số cộng sao cho tổng n số hạng đầu bằng n=1 lần một nửa số hạng thứ

7. Một số bài tập ví dụ:

Câu 1: Chứng minh dãy số (u_n) với u_n = 17n + 2 là cấp số cộng

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có: u_n+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19

=> Hiệu: u_n+1 – u_n = (17n + 19) − (17n + 2) = 17

Suy ra: (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 17.

Câu 2: Cho cấp số cộng (u_n)

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n= 7n – 3. Tính S₁₀₀.

b) (u­_n) có u₂+ u₂₂ = 40. Tính S

c) (u­_n) có u₄ + u₈+ u₁₂ + u₁₆ = 224. Tính S₁₉.

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Từ công thức số hạng tổng quát

Ta có:

Số hạng đầu: u₁ = 7 . 1 – 3 = 4;

Số hạng thứ hai là : u₂ = 7 . 2 – 3 = 11;

Công sai: d = 11 – 4 = 7

Khi đó ta có:

S100=n2u1+(n−1)d2=100[2.4+(100−1).7]2=35050

b) Ta có: u2+u22=40⇔u1+d+u1+21d=40⇔2u1+22d=40

Vậy S23=232u1+22d2=23.402=460.

c) Ta có: u₄+ u₈ + u₁₂+ u₁₆ = 224

⇔u1+3d+u1+7d+u1+15d=224⇔4u1+36d=224⇔u1+9d=56

Vậy S19=192u1+18d2=19u1+9d=19.56=1064.

Câu 3: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có: u_n+1 = 2ⁿ⁺¹ + 3

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = (2ⁿ⁺¹ + 3) − (2ⁿ + 1)= 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ

=> (u_n+1 − u_n) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Câu 4: Chứng minh rằng:

a) Nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x = a²– bc, y = b²– ca, z = c² – ab.

b) Nếu phương trình x³– ax²+ bx – c = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 9ab = 2a³ + 27c.

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b

Cần chứng minh x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng tức là x + z = 2y.

Ta có 2y = 2b² – 2ca

Và x + z = a² + c² – b(a + c)

= (a + c)² – 2ac – 2b²

= 4b² – 2ac – 2b²

= 2b² – 2ac = 2y

Khi đó ta được: y=x+z2y=x+z2

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x₁, x₂, x₃lập thành cấp số cộng khi đó: x₁+ x₃ = 2x₂ (1)

Mặt khác: x³ – ax² + bx – c = (x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)

= x³ – (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁ x₂ + x₂ x₃ + x₃ x₁)x – x₁ x₂ x₃

Suy ra x₁ + x₂ + x₃ = a (2)

Từ (1) và (2), ta được 3×2=a⇔x2=a33x2=a⇔x2=a3

Vì phương trình đã cho có nghiệm x2=a3x2=a3, tức là:

(a3)3−a(a3)2+b(a3)−c=0⇔−2a327+ba3−c=0⇔9ab=2a3+27ca33−aa32+ba3−c=0⇔−2a327+ba3−c=0⇔9ab=2a3+27c

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 5: Tính các tổng sau:

a) S = 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) + (2n + 1)

b) S = 1 + 4 + 7 +… + (3n – 2) + (3n + 1) + (3n + 4)

c) S = 100²– 99²+ 98² – 97² +… + 2² – 1²

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Ta có dãy số 1;3;5;…;(2n – 1);(2n + 1) là cấp số cộng với công sai d = 2 và u₁ = 1, số hạng tổng quát u_k= u₁+ (k – 1)d.

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 2n + 1 = u₁ + (k – 1)d

⇔2n+1=1+(k−1).2⇒k=n+1″>⇔2n+1=1+(k−1).2⇒k=n+1⇔2n+1=1+(k−1).2⇒k=n+1. Do đó dãy số có n + 1 số hạng.

Vậy Sn+1=k2u1+k−1d2″>Sn+1= k[2u1+(k−1)d]2Sn+1=k2u1+k−1d2=n+12u1+nd2=(n+1)(2n+1)2″>=(n+1)(2u1+nd)2=(n+1)(2n+1)2=n+12u1+nd2=(n+1)(2n+1)2.

b) Ta có dãy số 1; 4; 7; … (3n – 2);(3n + 1);(3n + 4) là cấp số cộng với công sai d = 3 và u₁= 1, số hạng tổng quát u_k= u₁ + (k – 1)d.

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 3n + 4 = u₁ + (k – 1)d

⇔3n+4=1+k−1.3⇒k=n+2″>⇔3n+4=1+(k−1).3⇒k=n+2⇔3n+4=1+k−1.3⇒k=n+2. Do đó dãy số có n + 2 số hạng.

Vậy Sn+2=k2u1+(k−1)d2″>Sn+2=k[2u1+(k−1)d]2Sn+2=k2u1+(k−1)d2=(n+2)2+(n+1).32=(n+2)(3n+5)2″>=(n+2)[2+(n+1).3]2=(n+2)(3n+5)2=(n+2)2+(n+1).32=(n+2)(3n+5)2.

c) S = 100²– 99² + 98²– 97² +… + 2² – 1²

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +… + (2 – 1)(2 + 1)

= 199 + 195 +… + 3

= 3 + 7 +… + 195 + 199

Ta có dãy số 3; 7; …195; 199 là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu tiên u₁ = 3 và số hạng thứ n là u_n = 199.

Do đó có 199=3+n−1.4⇒n=50″>199=3+(n−1).4⇒n=50199=3+n−1.4⇒n=50.

Vậy S=n2u1+n−1d2″>S=n[2u1+(n−1)d]2S=n2u1+n−1d2=502.3+49.42=5050″>=50(2.3+49.4)2=5050=502.3+49.42=5050.

Câu 6: Bài toán có lời giải: Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mước lương khi đó kí hiệu (u_n) (triệu đồng)

Theo đề:

Quý đầu: u₁ = 6

Các quý tiếp theo: u_n+1 = u_n + 0,5 với ∀n ≥ 1

Mức lương của công nhân mỗi quý là 1 số hạng của dãy số u_n. Mặt khác, lương của quý sau hơn lương quý trước là 0,5 triệu nên dãy số u_n là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.

Ta biết 1 năm sẽ có 4 quý => 5 năm sẽ có 5.4 = 20 quý. Theo y/c của đề bài ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u_n).

Lương tháng quý 20 của công nhân: u₂₀ = 6 + (20 – 1).0,5 = 15,5 triệu đồng

Tổng số lương của công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng: 215 (triệu đồng)

Câu 7: Một cấp số cộng (u_n) biết rằng số hạng đầu tiên u₁ = 5, số hạng thứ 11 là u₁₁ = 25. Hãy tính tổng 11 số hạng đầu tiên của dãy số này

Hướng dẫn giải chi tiết:

Áp dụng công thức Sn=(u1+un)n2

• u₁ = 5
• u₁₁ = 25
• n =11

Dựa vào công thức trên, ta tính tổng 11 số hạng đầu: Sn=(5+25)2.11=165

Câu 8: Cho 1 cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và công sai d = 2. Tổng 3 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là

A. 5

B. 8

C. 9

D. 12

Hướng dẫn giải chi tiết:

Áp dụng công thức: Sn=2u1+d(n–1)2n

• u₁ = 1
• d = 2
• n = 15

Dựa vào công thức trên, ta tính tổng 3 số hạng đầu: Sn=2.1+2(3–1)2.3=9

Chọn đáp án C.

Câu 9: Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?

A. 215 triệu

B. 15,5 triệu

C. 155 triệu

D. 60 triệu

Hướng dẫn giải chi tiết:

Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mước lương khi đó kí hiệu (u_n) (triệu đồng)

Theo đề:

• Quý đầu: u₁ = 6
• Các quý tiếp theo: u_n+1 = u_n + 0,5 với ∀n ≥ 1

Mức lương của công nhân mỗi quý là 1 số hạng của dãy số u_n. Mặt khác, lương của quý sau hơn lương quý trước là 0,5 triệu nên dãy số u_n là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.

Ta biết 1 năm sẽ có 4 quý => 5 năm sẽ có 5.4 = 20 quý. Theo y/c của đề bài ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u_n).

Lương tháng quý 20 của công nhân: u₂₀ = 6 + (20 – 1).0,5 = 15,5 triệu đồng

Tổng số lương của công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng: S12=20.(6+15,5)2=215 (triệu đồng)

Chọn đáp án A.