Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu hay và có đáp án

1. Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Khi ta giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, một trong những bước quan trọng là xác định những giá trị của ẩn mà khi thay vào phương trình không làm cho mẫu bằng 0. Điều này là để tránh sự không xác định hoặc phép chia cho 0 trong quá trình giải phương trình, vì khi mẫu bằng 0, phương trình trở nên vô nghiệm hoặc không xác định. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là tập hợp của các giá trị mà ẩn không thể làm cho mẫu bằng 0. Điều này có thể được xác định bằng cách giải mẫu bằng 0 và loại bỏ những giá trị không thỏa mãn.

Ví dụ, nếu ta có phương trình 2/(x – 3) = 5, ta cần xác định điều kiện nào đó để x tránh được giá trị là 3, vì khi thay x = 3 vào phương trình, mẫu sẽ bằng 0 và dẫn đến việc phép chia cho 0.

Như vậy, khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện xác định đóng vai trò quan trọng để xác định tập hợp các giá trị có thể gán cho ẩn mà vẫn giữ cho phương trình có nghiệm và tránh tình trạng không xác định

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cơ bản:

Bước 1: Xác định điều kiện của phương trình

Trước khi bắt đầu quá trình giải, ta cần xác định rõ điều kiện mà phương trình cần thỏa mãn để có nghiệm. Điều này bao gồm xem xét tất cả các biểu thức trong phương trình và đảm bảo rằng mẫu của chúng không bao giờ bằng 0. Điều này có thể dựa trên kiến thức về hạn chế tự nhiên của biến số hoặc phụ thuộc vào bối cảnh cụ thể của vấn đề.

Bước 2: Qui đồng mẫu và khử mẫu

Sau khi xác định được điều kiện xác định, ta thực hiện qui đồng mẫu. Quy trình này liên quan đến việc tìm mẫu số chung cho các biểu thức trong phương trình để chuyển chúng thành các biểu thức tương đương. Sau đó, ta tiến hành khử mẫu bằng cách nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung đã tìm được. Điều này giúp loại bỏ mẫu trong phương trình và chuyển nó thành một phương trình mới mà ta có thể giải quyết dễ dàng hơn.

Bước 3: Giải phương trình mới

Phương trình mới sau khi qui đồng mẫu và khử mẫu không chứa biến số trong mẫu. Ta giải phương trình này như một phương trình thường, sử dụng kỹ thuật và công cụ phù hợp với loại phương trình này.

Bước 4: Kết luận

Sau khi tìm ra các giá trị của biến số từ bước 3, ta kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện xác định từ bước 1 không. Nếu các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện, chúng là các nghiệm hợp lệ của phương trình gốc. Ngược lại, ta cần kiểm tra lại quá trình giải và xác định liệu có bước nào đã gây ra sự không thỏa mãn điều kiện hay không.

Tùy thuộc vào đặc điểm đặc biệt của phương trình và biểu thức trong mẫu, chúng ta cần chú ý rằng có trường hợp một số phương trình không có nghiệm hoặc có nghiệm không xác định. Điều này phụ thuộc vào sự phức tạp và tương tác giữa các yếu tố trong phương trình. Dưới đây là một số trường hợp cụ thể cần xem xét:

+ Phương trình vô nghiệm: Trong tình huống này, không có giá trị của biến số nào thỏa mãn tất cả các điều kiện và yêu cầu của phương trình. Điều này thường xảy ra khi mẫu số và tử số của phương trình không bao giờ giao nhau, dẫn đến việc không có điểm giao điểm nào.

+ Phương trình có nghiệm không xác định: Ở đây, có vô số giá trị của biến số có thể thỏa mãn phương trình, và không thể xác định một nghiệm duy nhất. Điều này thường xảy ra khi mẫu số và tử số của phương trình có thể được giản lược thành một biểu thức đồng nhất.

+ Phương trình có nghiệm xác định: Đây là trường hợp mà chúng ta có thể xác định một hoặc nhiều nghiệm duy nhất của phương trình dựa trên các điều kiện và yêu cầu đã cho.

Quan trọng nhất là phải phân tích và làm rõ các yếu tố trong phương trình để xác định xem có nghiệm, không có nghiệm hay có nghiệm không xác định. Điều này đòi hỏi sự hiểu biết chi tiết về từng loại phương trình và mức độ phức tạp của chúng

2. Các bài toán về giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bài tập 1: Để minh họa phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, hãy xem xét một ví dụ cụ thể. Giả sử chúng ta có phương trình sau đây: x+2x−3​=34

Lời giải chi tiết:​

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Trong trường hợp này, điều kiện xác định là x+2=0 vì mẫu của phương trình không thể bằng 0.

Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.

Nhân cả hai vế với $3(x+2)$, ta có: $3(x-3)=4(x+2)$

Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.

Mở ngoặc và giải phương trình:

$x-9=4x+8$

$-x=17$

$x=-17$

Bước 4: Kết luận.

Trong ví dụ này, giá trị $x=-17$ là nghiệm của phương trình, với điều kiện xác định $x+2=0$.

Bài tập 2: Giải phương trình sau: $2x+13x+2=x+1x-2$ (2)

Lời giải chi tiết:​

Điều kiện xác định (ĐKXĐ): {3x+2≠0,x−2≠0}⇒{x≠−32​,x≠2}

Phương trình (2) tương đương:

$(2x+1)(x-2)=(x+1)(3x+2)$

⇒2x2−4x+x−2=3x2+2x+3x+2

⇒x2+8x+4=0⇒x=−24±23​​

Vậy phương trình có nghiệm là x=−24±23​​.

Bài tập 3: Nghiệm của phương trình  là?

Lời giải chi tiết:​

Phương trình đã cho là: $(3x-2)(2x-3)=(6x+1)(x+7)$

Mở ngoặc và rút gọn: 6x2−13x+6=6x2+43x+7

Dịch chuyển các thành phần để có dạng: $-56x=-1$

Chia cả hai vế cho -56: x=561​

Vậy, kết quả làx=561​.

Đáp án đúng là B. x=−561​.

Bài 4: Tập nghiệm của phương trình  là?

Lời giải chi tiết:​

Phương trình đã cho là: (x+1)2−(x−1)2=4

Mở ngoặc và rút gọn: x2+2x+1−(x2−2x+1)=4

Dịch chuyển các thành phần để có dạng: $4x=4$

Chia cả hai vế cho 4: $x=1$

Tuy nhiên, khi so sánh với điều kiện $x$≠±1, ta thấy rằng $x=1$ không thỏa mãn điều kiện này.

Do đó, phương trình không có nghiệm, và tập nghiệm là $S=\{\}$ hay $S=\varnothing$.

Chọn đáp án D. $S=\{\}$

Bài 5: Cho phương trình sau. Tìm điều kiện xác định của phương trình trên?

Lời giải chi tiết:​

Điều kiện xác định: $x$$x$​

Nhân mẫu và tử của cả hai vế của phương trình cho $x(x-1)(x+2)$ để loại bỏ mẫu: $3x(x+2)-2x(x-1)=(x-1)(x+2)$

Mở ngoặc và rút gọn: 3x2+6x−2x2+2x=x2+x−2

Tổng hợp các thành phần: x2+8x=x2+x−2

Loại bỏ x2 ở cả hai vế: $8x=x-2$

Chuyển hạng tử $x$ về một bên: $7x=-2$

Chia cả hai vế cho 7: x=−72​

Nghiệm x=−72​ thoả mãn điều kiện xác định.

Vậy, nghiệm của phương trình là x=−72​.

3. Một số bài tập về giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bài 1: Giải phương trình sau ​​

Bài 2: Tìm giá trị của x thỏa mãn: $($−2x+12​)/(−2x−33)​=x−21​

Bài 3: Xác định tất cả các giá trị của x giải phương trình: 4​/(−x−12)​=2x+11​

Bài 4: Tìm nghiệm của phương trình: $($x+3x)/(x−2x−1)​=x−12​

Bài 5: Giải phương trình sau đây: $($x+13)/(x−25)​=x+32​

Bài 6: Tìm giá trị của x để phương trình $($−2x+41​)/(x−32)​=2x−23​ có nghiệm.

Bài 7: Xác định tất cả các giá trị của x giải phương trình: $($x−2x+1​)/(x+32)​=x+11​

Bài 8: Tìm nghiệm của phương trình: $($2x−12)/(​2x+31)​=x+23​

Bài 9: Giải phương trình sau đây: $($−2x+1)/(x+2​−2x−1x−3)​=x−21​

Bài 10: Tìm giá trị của x thỏa mãn:2x/(​x+12)​=x+23​

Câu 11: Điều kiện để phương trình (2x + 5)/2x – x/(x + 5) xác định là

A. x ≠ 0.

B. x ≠ 0, x ≠ 5.

C. x ≠ -5

D. x ≠ 0, x ≠ -5.

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình: (2x−32)/(x+1)​−2x+53​=x+21​

Câu hỏi: Tìm giá trị của $x$ sao cho phương trình trên đồng thời thỏa mãn điều kiện x≠−2, x≠3 và x≠−52​.