Có nghiệm là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm?

1. Phương trình có nghiệm là gì?

1.1. Định nghĩa:

Trong toán học, một phương trình là một mệnh đề chứa các nghiệm có dạng:

(f(x_(1), x_(2),…) = g(x_(1), x_(2),…)) (1)

(h(x_(1), x_(2),…) = f(x_(1), x_(2),…) – g(x_(1), x_{2),…)) (2)

(h(x_(1), x_(2),…) = 0) (3)

(ax^(2) + bx + c = 0) (4)

Trong đó (x_(1), x_(2)),… được gọi là các biến của phương trình và mỗi vế của phương trình được gọi là một góc của phương trình. Không có giới hạn cho phương trình (1) trong đó (f(x_1,x_2,…)) nhìn sang trái, (g(x_1,x_2,…)) nhìn sang phải.

Trong (4) chúng ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến

Nghiệm của phương trình là các bộ (x_(1), x_(2),…) để khi thay vào phương trình ta được một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng giống nhau.

Tổng công thức

Phương trình (f(x) = 0) có một khuyết điểmj được gọi là nghiêm trọng của phương trình khi và chỉ khi (trái{bắt đầu{ma trận} x = a f(a) = 0 kết thúc{ma trận}phải.), điều này định nghĩa tương tự với các phương trình khác như (f(x,y,z,..) = 0, ain S Left right arrow left (begin (matrix) x = a y = b z = c f(a,b,c) = 0 end (matrix) true.)

Giải một phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tệp của phương pháp là tất cả kinh nghiệm của phương pháp. Ký hiệu: (S = left (x,y,z,…left. right )right.)

1.2. Điều kiện để phương trình có nghiệm?

Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm

Theo hệ thức tiếng Việt, nếu phương trình bậc hai (ax^(2)+ bx + c = 0 (aneq 0)) có nghiệm (x_(1), x_(2)) thì (S = x_(1)+ x_(2) = frac(-b)(a); P=x_(1)x_(2) = frac(c)(a))

Đặt điều kiện đó cho phương trình bậc hai:

Có 2 nghiệm dương: (Delta geq 0; P>0; S>0)

Có 2 nghiệm âm: (Delta geq 0; P > 0; S < 0)

Có 2 nghiệm trái dấu: (Delta geq 0; P< 0)

Điều kiện để hệ có nghiệm

Cho hệ phương trình: (left (begin (matrix) ax + by = c (d) (a^(2) + b^(2) neq 0) a’x + b’y = c’ (d’) ( a’^(2) + b'(2) neq 0) end(matrix) right.)

Hệ phương trình có vô số nghiệm (Mũi tên trái phải) (d) trùng nhau (d’) 

Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm

Phương trình (sin x = m)

Phương trình có nghiệm nếu (trái|m phải|leq -1). Sau đó ta chọn một góc (alpha) sao cho (sin alpha = m) thì nghiệm của phương trình là (trái(bắt đầu(ma trận) x = alpha + k2pi x = pi – alpha + k2pi kết thúc(ma trận) phải.)

Phương trình (cos x = m)

Phương trình có nghiệm nếu (trái|m phải|leq -1). Khi đó ta chọn một góc (alpha) sao cho (cos alpha = m) thì nghiệm của phương trình là (trái(bắt đầu(ma trận) x = alpha + k2pi x = – alpha + k2pi kết thúc (ma trận) phải.)

Phương trình (tan x = m)

Chọn góc (alpha) sao cho (tan x = m). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Phương trình (csc x = m)

Chọn góc (alpha) sao cho (csc alpha = m). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

2. Các dạng toán học có điều kiện cho các phương trình có nghiệm:

Dạng 1: Tìm điều kiện để chọn phương án có nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình (x^(2) – 2(m+3)x + 4m-1 = 0) (1). Tìm giá trị của m để phương có hai số dương

Giải pháp:

Phương trình (2) có hai nghiệm dương

(trái(bắt đầu(ma trận)) Delta geq 0 P>0 S>0 kết thúc (ma trận) phải Trái phải mũi tên trái(bắt đầu (ma trận) (m+3)^(2)– (4m- 1)geq 0 4m-1 > 0 2(m+3)>0 kết thúc (ma trận) phải Trái phảimũi tên trái (bắt đầu (ma trận) (m+1)^(2) + 9 > 0 forall m m>frac(1) (4) m>-3 kết thúc (matrix) right.Leftrightarrow m>frac(1)(4)

Dạng 2: Điều kiện có nghiệm của phương trình rút gọn về phương trình bậc hai:

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm (x^4+ mx^2 + 2m – 4 = 0) (1)

Giải pháp:

Đặt(x^2 = y geq 0). Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là phương trình (y^2 + my + 2m – 4 = 0)(3) có ít nhất một nghiệm không âm.

Ta có: (Delta = m^2 – 4(2m-4) = (m-4)^2 geq 0) với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm (x_1, x_2) chẳng hạn P = 2m – 4; S = -m

Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm bằng nhau là:

(trái (bắt đầu(ma trận) P>0 S<0 kết thúc(ma trận) phải Trái phảimũi tên trái(bắt đầu(ma trận) 2m-4>0 -m<0 kết thúc(ma trận)phải) Trái phải mũi tên trái (bắt đầu (ma trận) m> 2 m>0 cuối (ma trận) phải Trái phảimũi tên m>2)

Điều kiện để phương pháp (3) có nghiệm nhỏ hơn (mleq 2)

(Mũi tên bên phải) phương pháp (2) có kinh nghiệm (mleq 2)

Bài 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ví dụ 3: Tìm số nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

(trái{bắt đầu{ma trận} mx + 2y = m + 1 2x + my = 2m – 1 kết thúc{ma trận}phải.)

Giải bài:

Từ phương trình đầu tiên chúng ta có (y = frac (m+1-mx) (2))

Thay vào phương trình thứ hai ta được: (2x + mfrac (m+1-mx)(2) = 2m-1)

(Mũi tên trái 4x + m^2 -m^2}x= 4m – 2)

(x(m^2 – 4) = m^2 – 3m -2 Mũi tên trái và phải x(m-2)(m+2) = (m – 2)(m – 1))

Nếu m = 2 thì x = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = -2 thì x = 12 thì phương trình vô nghiệm

Nếu (left(begin(matrix)mneq 2 mneq -2 end(matrix) right.) thì (x = frac(m-1)(m+2) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Ta quay lại phương trình (y = frac(m+1-mx2 = frac(2m+1)(m+2)

Ta cần tìm (min mathbb Z) sao cho (x,yin mathbb Z)

Nhìn vào công thức chúng ta có: (frac 3 m + 2in mathbb Z  Leftrightarrow (m + 2in left  -1,1,3,-3right ) Leftrightarrow min left ( -3,-1,1 , 5 đúng ))

Các giá trị này được nêu (trái{bắt đầu{ma trận} m neq 2 mneq -2 end (ma trận) phải.)

Do đó (min left ( -3,-1,1.5 right ))

3. Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết:

3.1. Phương pháp giải:

+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

+) Các bước để làm bài chứng minh phương trình có nghiệm như sau.

– Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0.

– Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0

 – Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

 Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

 Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+) Một số chú ý:

– Nếu f(a).f(b) ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b].

– Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; + ∞) và có f(a) .  < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a; +∞).

  – Nếu hàm số f(x) liên tục trên (-∞; a] và có f(a) .  < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-∞; a).

3.2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x3 + x – 1

Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục)

Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂R) (1)

Ta có: f(0) = 03 + 0 – 1 = – 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . f(1) = – 1. 1 = – 1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục).

Vậy phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm (đpcm).

Ví dụ 2: Chứng minh 4×4 + 2×2 – x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4×4 + 2×2 – x – 3

Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.

Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)4 + 2.(-1)2 – (-1) – 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 – 0 – 3 = -3

f(1) = 4.14 + 2.12 – 1 – 3 = 2

+ Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

  Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm).