Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có ví dụ

1. Lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là một quy trình quan trọng trong đại số đa thức. Khi chúng ta phân tích một đa thức thành nhân tử, chúng ta biến đổi đa thức ban đầu thành một tích của các đa thức nhỏ hơn.

Một trong những phương pháp phổ biến để phân tích đa thức thành nhân tử là sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung. Phương pháp này giúp chúng ta tìm ra các nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức và nhóm chúng lại với nhau. Khi chúng ta có được các nhân tử chung, chúng ta có thể viết đa thức ban đầu dưới dạng một tích của các đa thức nhỏ hơn.

Việc phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ giúp chúng ta dễ dàng tính toán và thực hiện các phép toán đa thức, mà còn giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của đa thức đó.

Với phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta có thể xác định được các điểm cực trị, các điểm không xác định và các điểm phân ly của đa thức. Điều này rất hữu ích trong việc nghiên cứu và ứng dụng các đa thức trong các lĩnh vực như kỹ thuật, khoa học và kinh tế.

Có công thức như sau:

A.B + A.C = A.(B + C)

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có ví dụ:

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 

a. Phương pháp giải: 

Trong quá trình phân tích các hạng tử của đa thức, chúng ta cần xem xét một số yếu tố quan trọng. Đầu tiên, ta cần xác định xem có bao nhiêu hạng tử trong đa thức. Sau đó, ta cần phân tích các hạng tử này để tìm ra các yếu tố chung giữa chúng. Điều này sẽ giúp ta chọn được nhân tử chung thích hợp.

Sau khi đã chọn được nhân tử chung, ta có thể áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Điều này cho phép ta phân tách đa thức ban đầu thành các thành phần nhỏ hơn, từ đó giúp ta dễ dàng giải quyết bài toán.

Việc phân tích kỹ các hạng tử và áp dụng tính chất phân phối không chỉ giúp ta hiểu rõ hơn về đa thức mà còn giúp ta tối ưu hóa quá trình giải quyết bài toán. Bằng cách chọn nhân tử chung thích hợp và phân tách đa thức thành các thành phần nhỏ hơn, ta có thể giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.

b, Ví dụ minh họa: 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 

a, x2 – 3x 

= x.x – 3x

= x.(x – 3)

b, 3x – 6y 

= 3x – 2.3.y

= 3.(x – 2y)

c, x(y – x)2 + xy(x – y) 

= x(x – y)2 + xy(x – y) 

= x.(x – y)(x – y) + xy(x – y)

= x.(x – y).[(x – y) + y]

= x2(x – y) 

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải: 

Phân tích các hạng tử của đa thức là một quy trình quan trọng để chọn ra nhân tử chung thích hợp. Bằng cách phân tích đa thức thành các thành phần nhỏ hơn, chúng ta có thể xác định được nhân tử chung giữa các đa thức khác nhau, từ đó giúp giải quyết các bài toán toán học một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Sau khi chọn được nhân tử chung, chúng ta có thể áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để giải quyết một số bài toán khác nhau. Phép nhân và phép cộng là hai phép toán cơ bản trong toán học, và việc sử dụng tính chất phân phối giúp chúng ta thực hiện các phép tính nhanh chóng và dễ dàng.

Ngoài ra, việc áp dụng tính chất phân phối cũng hỗ trợ trong việc tính giá trị biểu thức. Khi có một biểu thức phức tạp, chúng ta có thể dùng tính chất phân phối để phân tách và tính toán các thành phần của biểu thức một cách độc lập, sau đó kết hợp kết quả để tìm ra giá trị cuối cùng của biểu thức đó.

Ngoài ra, tính chất phân phối cũng hữu ích trong việc tìm giá trị của x trong các phương trình và bài toán liên quan đến tìm nghiệm. Bằng cách áp dụng tính chất phân phối, chúng ta có thể dễ dàng tái sử dụng các quy tắc tính toán đã biết để giải quyết các bài toán tìm nghiệm và xác định giá trị của x.

Vì vậy, việc phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung và áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng là những kỹ năng quan trọng trong toán học, giúp chúng ta giải quyết các bài toán toán học một cách hiệu quả và nhanh chóng.

b. Ví dụ minh họa

VD1: Tính nhanh: 

a, 75.20,9 + 52.20,9

= 20,9.(75 + 52)

= 20,9.100

= 2090

b, 98,6.199 – 990.9,86

= 98,6.199 – 99.10.9,86

= 98,6.199 – 98,6.99

= 98,6.(199 – 99)

= 98,6.100

= 9860

VD2: Tính giá trị biểu thức:

a, A = a(b + 3) – b(3 + b) tại a = 2, b = 3

A = a(b + 3) – b(b + 3)

= (b + 3)(a – b)

Thay a = 2, b = 3 vào biểu thức A ta được:  

A = (3 + 3)(2 – 3) = – 6 

b, B = b2 – 8b – c(8 – b) tại b = 1, c = 2

Ta có: 

B = b2 – 8b – c(8 – b)

= -b(8 – b) – c(8 – b)

= (8 – b)(- b – c)

Thay b = 1, c = 2 vào biểu thức B, ta được:

B = (8 – 1)(- 1 – 2)

= -21

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên: 

a. Phương pháp giải: 

Phân tích các biểu thức đã cho sẵn một cách hợp lí thành các tích sử dụng tính chất chia hết của số nguyên. Đồng thời, ta cũng có thể áp dụng các phép biến đổi khác như phân tích ra thừa số nguyên tố, phân tích thành các tổ hợp nhân tử khác nhau, hoặc thậm chí đặt các mối quan hệ giữa các yếu tố để tạo ra một biểu thức phức tạp hơn. Bằng cách này, ta có thể tăng cường sự đa dạng và phong phú cho các biểu thức ban đầu, đồng thời mở rộng khả năng phân tích và hiểu rõ hơn về tính chất chia hết của số nguyên.

b. Ví dụ minh họa: 

Chứng minh: 

a, 25n+1 – 25n chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n ≠ 0 

Ta có: 

25n+1 – 25n 

= 25n (25 – 1) 

= 24.25n 

Ta lại có: 24 = 4.6

25n = 25.25n-1 

=> 25n+1 – 25n = 4.6.25.25n-1  

= 100.6.25n-1 ⋮ 100 với mọi n ∈ N∗ 

Vậy 25n+1 – 25n chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n ≠ 0 

b, n2(n – 1) – 2n(n – 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Ta có: 

n2(n – 1) – 2n(n – 1) 

= (n – 1)(n2 – 2n)

= (n – 1).n.(n – 2)      

= (n – 2).(n – 1).n

Ta có: n – 2, n – 1, n là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng sẽ chia hết 6

=> n2(n – 1) – 2n(n – 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. 

c, 50n+2 – 50n+1 chia hết cho 245 với mọi số tự nhiên n. 

Ta có: 

50n+2 – 50n+1 

= 50n(502 – 50) 

= 50n(2500 – 50)

= 2450.50n 

= 245.10.50n ⋮ 245 với mọi STN n

Vậy 50n+2 – 50n+1 chia hết cho 245 với mọi số tự nhiên n. 

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp:

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản đã được học trong các bài trước bao gồm:

Phương pháp nhân tử chung

Phương pháp hằng đẳng thức

Phương pháp nhóm hạng tử

Trong một số bài toán, chúng ta có thể linh hoạt kết hợp cả ba phương pháp cơ bản trên để phân tích đa thức thành nhân tử. Điều này giúp đảm bảo tính linh hoạt và đa dạng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đa thức.

Ngoài ra, để phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta cũng có thể sử dụng một số phương pháp khác như:

Phương pháp tách hạng tử: Phương pháp này tách đa thức thành các nhân tử cùng với hạng tử tương ứng.

Phương pháp thêm hoặc bớt cùng một hạng tử: Đối với đa thức có các hạng tử trùng nhau, ta có thể thêm hoặc bớt cùng một hạng tử để phân tích thành nhân tử.

Phương pháp đặt biến phụ: Đối với đa thức có đặc điểm nhất định, ta có thể đặt biến phụ để thuận tiện trong việc phân tích thành nhân tử.

Phương pháp hệ số bất định: Phương pháp này sử dụng các giá trị bất định của hệ số để phân tích đa thức thành nhân tử.