Một số dạng Toán tính nhanh phân số ở tiểu học bao gồm các ví dụ minh họa và lời giải chi tiết cho từng dạng Toán phân số lớp 4, 5 giúp cho các em học sinh ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải các dạng Toán về phân số, ôn tập ôn thi chuẩn bị tốt cho các bài thi học kì, thi học sinh giỏi. Mời các em cùng tham khảo.
Mục lục bài viết
1. Số hạng liền sau bằng 1/2 số hạng liền trước:
Bài 1: Tính nhanh
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …. + 1/128 + 1/256
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/2 số hạng liền trước nên ta có thể giải theo các cách sau:
Cách 1:
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ….1/128 + 1/256
= 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) +….(1/128 – 1/256)
= 2 – 1/256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Cách 2:
S x 2 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 +….+ 1/128
S x 2 – S = 2 – 1/ 256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Bài 2: Tính nhanh
S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ….+ 1/2187
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/3 số hạng liền trước nên ta có thể giải theo cách 2 như bài 1:
S x 3 = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ….+ 1/729
S x 3 – S = 3 – 1/2187 = 6560/2187
Vậy S = 6560/2187 : 2 = 6560/4374
Bài 3: Tính nhanh
A = 1 + 2 + 4 + 8 + …. + 4096 + 8192
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau gấp 2 lần số hạng liền trước. Ta có thể giải bài toán trên theo các cách sau:
Cách 1:
A x 2 = 2 + 4 + 8 + …. + 16384
A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 2: Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 = 3 + 4
Tổng 4 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8
Tổng 5 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16
Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:
A = 1 + 2 + 4 + 8 + …. + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 3: Nhận xét:
2 = 1 + 1
4 = (1 + 2) + 1
8 = (1 + 2 + 4) + 1
….
8192 = (1 + 2 + 4 + …. + 4096) + 1
Vậy A = 8192 – 1 + 8192 = 16383
* Kết luận: Với dạng bài có số hạng liền sau hơn hoặc kém số hạng liền trước n lần ta có cách giải chung là: ta nhân cả biểu thức đó cho n rồi lấy kết quả biểu thức sau khi nhân trừ cho biểu thức lúc đầu ta sẽ tính được kết quả của bài toán.
2. Mẫu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp:
Bài 4: Tính nhanh
1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + …. + 1/ 2013 x 2014
Phân tích: Bài này ta thấy ở mấu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể phân tích như sau:
1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + …. + 1/ 2013 x 2014
= 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 +….+ 1/2013 – 1/2014
= 1 – 1/2014 = 2013/2014
Bài 5: Tính nhanh
A = 1/1 x3 + 1/ 3 x 5 + 1/ 5 x 7 + …. + 1/ 2013 x 2015
Phân tích: Bài này ta thấy giống với bài 5 chỉ khác ở chỗ ở MS là tích 2 số lể liên tiếp. Muốn đưa về phân cách phân tích như bài 5 ta phải tìm cách đưa tử số về là 2. Ta làm như sau:
A x 2 = 2/1 x3 + 2/ 3 x 5 + 2/ 5 x 7 + …. + 2/ 2013 x 2015
= 1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + ….+ 1/2013 – 1/2015
= 1 – 1/2015 = 2014/2015
Vậy A = 2014/2015 : 2 = 2014/4030.
Bài 6: Tính nhanh.
1/ 2 x (1 + 2) + 1/ 2 x (1 + 2 + 3) + …. + 1/2 x (1 + 2 + 3 + …. + 9)
Phân tích: Với bài này ta phải tìm cách đưa MS về dạng tính nhanh cở bản như bài 4; 5 ở trên. Ta có thể nhận thấy thừa số thứ 2 ở mẫu số là tổng các số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể dùng cách tính tổng các số tự nhiên liên tiếp để có thể đưa về dạng tính nhanh cơ bản. Ta có thể làm như sau:
MS = 2 x (1 + 2) + 2 x (1 + 2 + 3) + …. + 2 x (1 + 2 + 3 + …. + 9)
= 2 x (2 x 3)/2 + 2x (3 x 4)/2 + …. + 2 x (9 x 10)/2
2 x3 + 3 x 4 + …. + 9 x 10
Vậy TS/MS = 1/2×3 + 1/3×4 + …. + 1/9×10
= 1/2 – 1/10 = 2/5
* Kết luận: Với bài có dạng n/a xb + n/b xc (với khoảng cách giữa a và b; b và c là n đơn vị) ta phân tích như sau:
n/a xb + n/b xc = 1/a – 1/b + 1/b – 1/c
3. Mỗi số hạng là tích hai số tự nhiên liên tiếp:
Bài 7: Tính nhanh
M = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + …. + 201 x 202
Phân tích: Bài này ta thấy mỗi số hạng là tích hai số tự nhiên liên tiếp. Để tạo ra các nhóm thừa số có thể loại trừ hết cho nhau ta phân tích như sau:
M x 3 = 1 x 2 x (3 – 0) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2) + …. + 201 x 202 x (203 – 200)
= 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + …. + 201 x 202 x 203 – 200 x 201 x 202
= 201 x 202 x 203 = 8242206
Vậy M = 8242206 : 3 = 2747402
Bài 8: Tính nhanh
= 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + …. + 100 x 101 x 102
Phân tích: Tương tự ta thấy các số hạng trong tổng là tích ba số tự nhiên liên tiếp. Vì vậy ta có thể phân tích như sau:
N x 4 = 1 x 2 x 3 x (4 – 0) + 2 x 3 x 4 x (5 – 1) + 3 x 4 x 5 x (6 – 2) + …. + 100 x 101 x 102 x (103 – 99)
= 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 – 1 x 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 x 6 – 2 x 3 x 4 x 5 + …. + 100 x 101 x 102 x 103 – 99 x 100 x 101 x 102
= 100 x 101 x 102 x 103 = 106110600
Vậy N = 106110600 : 4 = 26527650
Bài 9: Tính nhanh
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + …. + 100 x 100
Phân tích: Bài này thực ra là bài thuộc dạng bài 7 và 8 nhưng ta phải tìm cách đưa về dạng cơ bản trên. Ta có thể phân tích như sau:
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + …. + 100 x 100
= 1 x (2 – 1) + 2 x (3 – 1) + 3 x (4 – 1) + …. + 100 x (101 – 1)
= 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + …. + 100 x 101 – 100
= (1 x 2 + 2 x 3 + …. + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + …. + 100)
= (100 x 101 x 102) : 3 – (101 x 100 : 2) = 343400 – 5050 = 338350
* Kết luận 3: Với dạng bài có các số hạng là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có thể làm như sau:
– Số hạng thứ nhất nhân với n (trong đó n là số tự nhiên liền kề của thừa số lớn nhất trong tích).
– Số hạng thứ hai nhân với (n + 1) – 1
….
VD: 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 …. ta làm như sau:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4…. = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x (4 – 1)+ 3 x 4 x (5 – 2)
4. Đưa tử số về dạng tích 2 thừa số trong đó có 1 thừa số chính là mẫu số:
Bài 10: Tính nhanh.
Tử số = 2012 + 2011/2 + 2010/3 + …. + 2/2011 + 1/2012
Mẫu số = 1/2 + 1/3 + 1/4 + …. + 1/2012 + 1/2013
Phân tích: Với bài này ta tìm cách đưa TS về dạng tích 2 thừa số trong đó có 1 thừa số chính là mẫu số. Ta có thể làm như sau:
TS = (1 + 1 + …. + 1) + 2011/2 + …. + 2/2011 + 1/2012
(2012 chữ số 1)
= (1 + 2011/2) + ….+ (1 + 2/2011) + (1 + 1/2012) + 1
= 2013/2 + …. + 2013/2011 + 2013/2012 + 2013/2013
= 2013 x (1/2 + …. + 1/2011 + 1/2012 + 1/2013)
TS/MS = 2013
Bài 11: Tính nhanh.
TS = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + …. + (1 + 2 + 3 + …. + 2014)
MS = 1 x 2014 + 2 x 2013 + …. + 2013 x 2 + 2014 x 1
Phân tích: Với dạng bài ta nhận thấy ở TS có 2014 số 1; 2013 số 2 …. Vì vậy ta có thể giải như sau:
TS = (1 + 1 + …. + 1) + (2 + 2 + …. + 2) + …. + (2013 + 2013) + 2014
(2014 chữ số 1) (2013 chữ số 2)
= 1 x 2014 + 2 x 2013 +…. + 2013 x 2 + 2014 x 1
Vậy TS/MS = 1
Bài 12: Tính nhanh.
TS = 1/51 + 1/52 + 1/53 + …. + 1/100
MS = 1/1×2 + 1/3×4 + …. + 1/99×100
Phân tích: Với bài này ta có thể dùng cách thêm bớt để đưa MS về giống với TS. Ta có thể làm như sau:
MS = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + …. + 1/99 – 1/100
= (1 + 1/3 + …. + 1/99) – (1/2 + 1/4 + …. + 1/100)
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …. + 1/99 + 1/100) – (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 …. 1/100 + 1/100)
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …. + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 +….1/50 ) = 1/51 + 1/52 + 1/53 + …. + 1/100
Vậy TS/MS = 1
Bài 13: Tính nhanh.
TS = 1 + 1/3 + 1/5 + ….+ 1/97 + 1/99
MS = 1/1×99 + 1/3×97 + …. + 1/49×51
Phân tích: Với dạng bài ta thấy tương tự như các bài trên ta tìm cách đưa TS và MS về tích 2 thừa số và có 1 thừa số chung. Ta có thể làm như sau:
TS = (1 + 1/99) + (1/3 + 1/97) + …. + (1/49 + 1/51)
= 100/ 1×99 + 100/3×97 + ….+ 100/49X51
= 100/ (1/1×99 + 1/3×97 + …. + 1/49×51)
Vậy TS/MS = 100
Bài 14: Tính nhanh.
TS = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ….+ 1/99 + 1/100
MS = 1/99 + 2/98 + …. + 99/1
Phân tích: Với dạng bài ta phân tích MS như sau:
MS = (100 – 99)/99 + (100 – 98)/98 + ….+ (100 – 2)/2 + (100 – 1)/1
= 100/99 – 1 + 100/98 – 1 + …. + 100/2 – 1 + 100/1 – 1
= 100/99 + 100/98 + …. + 100/2 + 100/1 – 1 x 99
= 100/99 + 100/98 + …. + 100/2 + 1
= 100/99 + 100/98 + …. + 100/2 + 100/100
= 100 x (1/99 + 1/98 + …. + 1/2 + 1/100)
= 100 x (1/2 + 1/3 + …. + 1/99 + 1/100)
Vậy TS/MS = 1/100
