Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x được biên soạn cụ thể lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo các bài tập có đáp án giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện và đạt được điểm cao trong các kỳ thi.
Mục lục bài viết
1. Lý thuyết Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x:
Để giải bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần tìm m sao cho hàm số f(x) = ax^2 + bx + c luôn dương hoặc luôn âm với mọi x thuộc R. Điều này tương đương với việc đồ thị của hàm số f(x) không cắt trục hoành, tức là phương trình ax^2 + bx + c = 0 không có nghiệm. Áp dụng công thức tính delta, ta có:
∆ = b^2 – 4ac = m^2 – 4(m – 1)(m + 1) = m^2 – 4m^2 + 4 = -3m^2 + 4
Để ∆ < 0, ta cần có:
-3m^2 + 4 < 0
<=> m^2 > 4/3
<=> m < -√(4/3) hoặc m > √(4/3)
Vậy các phương pháp giải tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là:
– Phương pháp đồ thị: Vẽ đồ thị của hàm số f(x) và xác định các giá trị của m sao cho đồ thị không cắt trục hoành.
– Phương pháp delta: Tính delta của phương trình ax^2 + bx + c = 0 và xác định các giá trị của m sao cho delta < 0.
2. Bài tập cơ bản Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x:
Bài 1: Tìm m để bất phương trình x^2 + 2x – 3 > 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải:
Để giải quyết bài toán này, ta cần xét hai trường hợp:
– Trường hợp 1: m = 0. Khi đó, bất phương trình trở thành x^2 + 2x – 3 > 0. Ta có thể giải bất phương trình này bằng cách phân tích thành nhân tử: (x + 3)(x – 1) > 0. Điều kiện để tích hai số dương là cả hai số phải cùng dấu, nên ta có hai nghiệm là x < -3 hoặc x > 1.
– Trường hợp 2: m khác 0. Khi đó, chia cả hai vế của bất phương trình cho m và được bất phương trình mới: x^2 + (2/m)x – (3/m) > 0. Ta có thể giải bất phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/2a. Trong đó, a = 1, b = 2/m, c = -3/m. Ta có:
∆ = b^2 – 4ac = (2/m)^2 – 4(1)(-3/m) = (4 + 12m)/m^2
Để ∆ > 0, ta cần có m > -1/3 hoặc m < 0. Khi đó, ta có hai nghiệm của bất phương trình là:
x1 = [-(2/m) + √((4 + 12m)/m^2)]/2
x2 = [-(2/m) – √((4 + 12m)/m^2)]/2
Điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là x1 < x < x2 hoặc x < x1 hoặc x > x2. Điều này đồng nghĩa với việc ∆ luôn dương và hai nghiệm luôn có dấu ngược nhau. Tức là:
– Nếu m > -1/3, thì x1 < 0 và x2 > 0.
– Nếu m < 0, thì x1 > 0 và x2 < 0.
Vậy, ta có thể kết luận rằng m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là m thuộc (-∞; 0) hoặc (-1/3; +∞).
Bài 2: Tìm m để bất phương trình x^2 – 2mx + m – 1 > 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải:
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:
– Định thức của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: (-2m)^2 – 4(m – 1) < 0
– Hệ số a của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: a = 1 > 0
Giải bất phương trình định thức, ta được: m^2 – 2m + 1 < 0
=> (m – 1)^2 < 0
=> Vô nghiệm
Vậy không tồn tại giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
Bài 3: Tìm m để bất phương trình x^2 + (m – 1)x + m < 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải:
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:
– Định thức của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: (m – 1)^2 – 4m > 0
– Hệ số a của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: a = 1 < 0
Điều kiện thứ hai không thể thỏa mãn, vậy không tồn tại giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
Bài 4: Tìm m để bất phương trình x^2 + (m + 1)x + m > 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải:
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:
– Định thức của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: (m + 1)^2 – 4m < 0
– Hệ số a của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: a = 1 > 0
Giải bất phương trình định thức, ta được: m^2 + 2m – 3 < 0
=> (m + 3)(m – 1) < 0
=> -3 < m < 1
Vậy tập giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là: (-3;1)
Bài 5: Tìm m để bất phương trình x^2 + mx + (m – 3) > 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải:
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:
– Định thức của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: m^2 – 4(m – 3) < 0
– Hệ số a của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: a = 1 > 0
Giải bất phương trình định thức, ta được: m^2 -4m +12 < 0
=> (m -6)(m +2) <0
=> -2 < m <6
Vậy tập giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là: (-2;6)
Bài 6: Tìm m để bất phương trình x^2 + mx + (3 – m) < 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải:
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:
– Định thức của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: m^2 -4(3-m) >0
– Hệ số a của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: a = 1 < 0
Điều kiện thứ hai không thể thỏa mãn, vậy không tồn tại giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
3. Bài tập nâng cao tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x:
Bài 1: Tìm m để bất phương trình (x^2 – 2mx + m^2 – 1)/(x^2 – 4) <= 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải
Điều kiện: x^2 – 4 != 0 <=> x != ±2
Phân tích: (x – m)^2 – (1 + 2)^2 = (x – m – 3)(x – m + 3)
BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> (x – m – 3)(x – m + 3) <= 0 với mọi x
<=> m = 3 hoặc m = -3
Bài 2: Tìm m để bất phương trình (x^4 + mx^3 + x^2)/(x^2 + x) > 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải
Điều kiện: x^2 + x != 0 <=> x != 0 và x != -1
Phân tích: x^2(x^2 + mx + 1)/(x(x + 1)) > 0
BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> x^2 + mx + 1 > 0 với mọi x
<=> Δ = m^2 – 4 < 0 <=> |m| < 2
Bài 3: Tìm m để bất phương trình (mx^3 – x)/(x^4 + x) < 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải
Điều kiện: x^4 + x != 0 <=> x != 0 và x != ±(1/√(3))
Phân tích: không thể phân tích
BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> mx^3 – x < 0 với mọi x
<=> m < 0
Bài 4: Tìm m để bất phương trình (mx^2 + mx + 1)/(x^3 + mx) >= 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải
Điều kiện: x^3 + mx != 0 <=> không có nghiệm rời rạc
Phân tích: không thể phân tích
BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> mx^2 + mx + 1 >= 0 với mọi x
<=> Δ = m^2 – 4m < 0 <=> m(4 – m) > 0 <=> m thuộc (0;4)
Bài 5: Tìm m để bất phương trình (mx^4 – mx)/(x^5 + mx) <= 0 nghiệm đúng với mọi x
Lời giải
Điều kiện: x^5 + mx != 0 <=> không có nghiệm rời rạc
Phân tích: không thể phân tích
BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> mx^4 – mx <= 0 với mọi x
<=> mx(m(x^3 – 1)) <= 0 <=> không có giá trị của m thỏa mãn
Bài 6: Tìm m để bất phương trình (m+1)x^2 – (2m+3)x + m + 2 > 0 với mọi x thuộc R.
Lời giải:
Ta có định lý: Bất phương trình bậc hai ax^2 + bx + c > 0 với mọi x thuộc R khi và chỉ khi a > 0 và ∆ < 0.
Áp dụng vào bài toán, ta được:
m+1 > 0 và ∆ = (2m+3)^2 – 4(m+1)(m+2) < 0
Giải hệ bất phương trình trên, ta được: m > -1 và -3 < m < -2.
Vậy tập giá trị của m là (-1; -2).
Bài 7: Tìm m để bất phương trình log_2(x^2 – mx + m) < 0 có nghiệm với mọi x thuộc R.
Lời giải:
Ta có điều kiện: x^2 – mx + m > 0. Đây là bất phương trình bậc hai có hệ số a = 1 > 0.
Do đó, để bất phương trình có nghiệm với mọi x thuộc R, ta cần có ∆ <= 0. Tức là:
m^2 – 4m <= 0
Giải bất phương trình trên, ta được: 0 <= m <= 4. Vậy tập giá trị của m là [0; 4].
