Tìm m để phương trình sau có nghiệm là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Dạng bài toán tìm m để phương trình sau có nghiệm chúng ta hay gặp trong các đề thi ôn thi vào lớp 10.
Mục lục bài viết
1. Cách giải dạng bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Để giải dạng bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm, ta có thể áp dụng các bước sau:
– Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng ax^2 + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các hàm số của m.
– Bước 2: Tính định thức của phương trình, là ∆ = b^2 – 4ac.
– Bước 3: Xét các trường hợp về ∆ để tìm giá trị của m sao cho phương trình có nghiệm:
+ Nếu ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta giải bất phương trình ∆ > 0 để tìm m.
+ Nếu ∆ = 0, phương trình có nghiệm kép. Ta giải phương trình ∆ = 0 để tìm m.
+ Nếu ∆ < 0, phương trình vô nghiệm. Ta giải bất phương trình ∆ < 0 để tìm m.
– Bước 4: Kiểm tra lại các giá trị của m tìm được bằng cách thay vào phương trình và xem có thỏa mãn hay không.
2. Điều kiện để phương trình có nghiệm:
2.1. Nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn:
Để phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 có nghiệm khi a ≠ 0.
Để phương trình bậc nhất một ẩn có nghiệm, cần thỏa mãn điều kiện sau:
– Hệ số của biến số trong phương trình không được bằng 0. Trường hợp hệ số bằng 0 sẽ làm phương trình trở thành một phương trình vô nghiệm hoặc phương trình trùng nhau với vô số nghiệm.
– Hệ số của biến số và hạng tử (nếu có) không được cùng bằng 0. Nếu cả hai hệ số này đều bằng 0, phương trình sẽ trở thành một phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Phương trình 2x + 3 = 0 là một phương trình bậc nhất một ẩn. Trong trường hợp này, hệ số của biến số x là 2 và hệ số của hạng tử là 3. Cả hai hệ số này đều không bằng 0, do đó phương trình này có nghiệm.
Tóm lại, để phương trình bậc nhất một ẩn có nghiệm, cần đảm bảo rằng hệ số của biến số và hạng tử không bằng 0.
2.2. Nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
Để phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi .
Để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm, cần thỏa mãn điều kiện sau:
– Hệ số của biến số bậc hai (hạng tử bậc hai) phải khác 0. Nếu hệ số này bằng 0, phương trình sẽ trở thành một phương trình bậc nhất hoặc một phương trình bậc không hợp lệ.
– Số hạng tử bậc hai (biến số bậc hai) và hạng tử bậc một (biến số bậc một) không thể cùng bằng 0. Nếu cả hai hạng tử này đều bằng 0, phương trình sẽ trở thành một phương trình tuyến tính hoặc một phương trình vô nghiệm.
– Điều kiện delta (Δ) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Delta là biểu thức được tính bằng Δ = b^2 – 4ac, trong đó a, b, và c lần lượt là hệ số của biến số bậc hai, biến số bậc một và hạng tử tự do. Nếu Δ 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ: Phương trình ax^2 + bx + c = 0 là một phương trình bậc hai một ẩn. Để phương trình này có nghiệm, cần đảm bảo rằng hệ số a khác 0 và Δ ≥ 0.
Tóm lại, để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm, cần thỏa mãn điều kiện: hệ số của biến số bậc hai khác 0, hệ số của biến số bậc hai và biến số bậc một không thể cùng bằng 0, và Δ ≥ 0.
3. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm:
Bài 1: Tìm m để phương trình x^2 – (m+1)x + m – 2 = 0 có nghiệm.
Lời giải:
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = (m+1)^2 – 4(m-2) >= 0
Giải bất phương trình ta được: -3 <= m <= 2
Vậy m thuộc đoạn [-3; 2]
Bài 2: Tìm m để phương trình x^2 + (m-1)x + m = 0 có nghiệm kép.
Lời giải:
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆ = (m-1)^2 – 4m = 0
Giải phương trình ta được: m = 1 hoặc m = -3
Vậy m thuộc tập hợp {1; -3}
Bài 3: Tìm m để phương trình x^2 + mx + (m-1) = 0 có hai nghiệm phân biệt và cùng dấu.
Lời giải:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và cùng dấu khi và chỉ khi ∆ > 0 và a.b > 0
Tức là: m^2 – 4(m-1) > 0 và (m-1) > 0
Giải hệ bất phương trình ta được: m > 2
Vậy m thuộc khoảng (2; +oo)
Bài 4: Tìm m để phương trình x^2 – mx + (m+1) = 0 có hai nghiệm đối xứng qua gốc tọa độ.
Lời giải:
Phương trình có hai nghiệm đối xứng qua gốc tọa độ khi và chỉ khi ∆ > 0 và a.c < 0
Tức là: m^2 – 4(m+1) > 0 và (m+1) < 0
Giải hệ bất phương trình ta được: m < -2
Vậy m thuộc khoảng (-oo; -2)
Bài 5: Tìm m để phương trình x^2 + mx + (3-m) = 0 có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 + x2 = x1.x2.
Lời giải:
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 + x2 = x1.x2 khi và chỉ khi ∆ > 0 và a.c = b^2/4
Tức là: m^2 – 4(3-m) > 0 và (3-m) = m^2/4
Giải hệ phương trình ta được: m = -3 hoặc m = 4
Vậy m thuộc tập hợp {-3; 4}
Bài 6: Tìm m để phương trình -2×2 – 4x + 3 = m có nghiệm
Lời giải:
Để phương trình -2×2 – 4x + 3 = m có nghiệm, ta cần điều kiện để định lượng ∆ của phương trình bậc hai là không âm, tức là:
∆ = b2 – 4ac >= 0
Thay a = -2, b = -4, c = 3 – m vào công thức trên, ta được:
(-4)2 – 4(-2)(3 – m) >= 0
Giải ra, ta được:
m <= 7 hoặc m >= 11
Vậy, tập hợp các giá trị của m để phương trình có nghiệm là:
[-∞; 7] ∪ [11; +∞]
Bài 7: Tìm m để phương trình x^2- 5x + m = 0 có nghiệm.
Lời giải:
Để tìm giá trị của m để phương trình x^2 – 5x + m = 0 có nghiệm, chúng ta sẽ sử dụng điều kiện delta (Δ) của phương trình. Delta được tính bằng Δ = b^2 – 4ac, trong đó a, b, và c lần lượt là hệ số của biến số bậc hai, biến số bậc một và hạng tử tự do.
Trong phương trình x^2 – 5x + m = 0, ta có a = 1, b = -5 và c = m. Thay vào công thức delta, ta có:
Δ = (-5)^2 – 4.1.m
= 25 – 4m
Để phương trình có nghiệm, delta phải lớn hơn hoặc bằng 0, tức là Δ ≥ 0. Ta có:
25 – 4m ≥ 0
Để giải phương trình này, ta sẽ tìm giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên:
25 – 4m ≥ 0
=> 4m ≤ 25
=> m ≤ 25/4
Vậy, để phương trình x^2 – 5x + m = 0 có nghiệm, giá trị của m phải thỏa mãn m ≤ 25/4.
Bài 8: Chứng minh phương trình x^2 + (m – 3)x – 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Lời giải:
Để phương trình trên luôn có nghiệm, ta cần chứng minh rằng delta (Δ) của phương trình không âm, tức là Δ ≥ 0. Delta được tính bằng Δ = b^2 – 4ac, trong đó a, b và c lần lượt là hệ số của biến số bậc hai, biến số bậc một và hạng tử tự do.
Trong phương trình x^2 + (m – 3)x – 3m = 0, ta có a = 1, b = (m – 3) và c = -3m. Thay vào công thức delta, ta có:
Δ = (m – 3)^2 – 4(1)(-3m)
= m^2 – 6m + 9 + 12m
= m^2 + 6m + 9
Để chứng minh Δ ≥ 0, ta cần chứng minh rằng m^2 + 6m + 9 ≥ 0.
Ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng khai triển hoàn thiện:
m^2 + 6m + 9 = (m + 3)^2
Vì (m + 3)^2 luôn không âm với mọi giá trị của m, ta có m^2 + 6m + 9 ≥ 0.
Vậy, phương trình x^2 + (m – 3)x – 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
