Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng chi tiết

1. Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng:

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng chi tiết là:

un = u1 + (n – 1)d

Trong đó:

– un là số hạng thứ n của cấp số cộng

– u1 là số hạng đầu tiên của cấp số cộng

– d là công sai của cấp số cộng

– n là chỉ số của số hạng cần tìm

Công thức này có thể được giải thích như sau: Để tìm số hạng thứ n, ta phải cộng số hạng đầu tiên với công sai nhân với (n – 1). Vì mỗi lần tăng chỉ số lên 1, ta phải cộng thêm một lần công sai, nên khi tăng từ 1 lên n, ta phải cộng (n – 1) lần.

Để áp dụng công thức này, ta cần biết giá trị của ba trong bốn thành phần: u1, d, n và un. Nếu thiếu một trong số đó, ta không thể tìm được số hạng tổng quát. Ví dụ, nếu biết rằng một cấp số cộng có u1 = 2, d = 3 và n = 5, ta có thể tìm được u5 bằng cách thay các giá trị vào công thức:

u5 = 2 + (5 – 1)3

u5 = 2 + 12

u5 = 14

Như vậy, số hạng thứ năm của cấp số cộng này là 14.

Ví dụ: Cho cấp số cộng có u1 = 2, d = 3. Tìm u10.

Ta có:

u10 = u1 + (10 – 1)d

u10 = 2 + 9 x 3

u10 = 29

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng cũng có thể được tính bằng công thức:

Sn = n(u1 + un) / 2

hoặc

Sn = nu1 + n(n – 1)d / 2

hoặc

Sn = n[2u1 + (n – 1)d] / 2

2. Lý thuyết tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng:

Cấp số cộng là một dãy số có tính chất là số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một hằng số gọi là công sai. Số hạng tổng quát của cấp số cộng là công thức để tính giá trị của số hạng bất kỳ trong dãy, dựa vào giá trị của số hạng đầu tiên và công sai (hiệu hai số hạng liên tiếp).

a) (un) là cấp số cộng khi un+1 = un + d, n ∈ N* (d gọi là công sai)

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ∈ N*.

3. Bài tập tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng:

Bài 1: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 1 và d = – 3.

a) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng

b) Tìm số hạng thứ 2021 của cấp số cộng

c) Số – 488 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng

Lời giải:

a)  Cấp số cộng (un) có số hạng đầu tiên là u1 = 1 và công sai là d = – 3. Để xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta sử dụng công thức:

un = u1 + (n – 1)d

Thay các giá trị đã cho vào công thức, ta được:

un = 1 + (n – 1)(– 3)

= 1 – 3n + 3

= 4 – 3n

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là un = 4 – 3n.

b) Có công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng:

un = u1 + (n – 1).d

Thay các giá trị cho biết vào công thức, ta được:

u2021 = 1 + (2021 – 1).(-3)

= 1 – 6060

= -6059

Vậy số hạng thứ 2021 của cấp số cộng là -6059.

c) Ta có công thức:

un = u1 + (n – 1)d

Trong đó, u1 là số hạng đầu tiên, d là công sai, n là chỉ số của số hạng. Thay các giá trị đã cho vào công thức, ta được:

un = 1 + (n – 1)(-3)

un = -3n + 4

Tiếp theo, ta cần tìm n sao cho un = -488. Ta có:

-488 = -3n + 4

-3n = -492

n = 164

Vậy số – 488 là số hạng thứ 164 của cấp số cộng.

Bài 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu tiên là 2, công sai là 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng này.

Lời giải: Số hạng tổng quát của cấp số cộng có dạng: a_n = a_1 + (n – 1)d

Thay các giá trị cho biết vào công thức, ta được:

an = 2 + (n – 1)3

an = 3n – 1

Bài 3: Cho cấp số cộng có số hạng thứ hai là 5, số hạng thứ năm là 11. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng này.

Lời giải: Số hạng tổng quát của cấp số cộng có dạng: an = a1 + (n – 1)d

Ta có: a2 = a1 + d = 5

a5 = a1 + 4d = 11

Giải hệ phương trình trên, ta được:

a1 = 3

d = 2

Thay vào công thức, ta được:

an = 3 + (n – 1)2

an = 2n + 1

Bài 4: Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên là Sn = n(2n + 5). Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng này.

Lời giải: Số hạng tổng quát của cấp số cộng có dạng: an = a1 + (n – 1)d

Ta có: Sn = n(a1 + an)/2

Thay các giá trị cho biết vào công thức, ta được:

n(2n + 5) = n(a1 + a1 + (n – 1)d)/2

Đơn giản biểu thức, ta được:

4n + 10 = 2a1 + (n – 1)d

Giải phương trình trên với hai trường hợp n = 1 và n = 2, ta được:

a1 = 7

d = -3

Thay vào công thức, ta được:

an = 7 – (n – 1)3

an = -3n + 10

Bài 5: Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên là S_n = n^2 + n. Tìm công sai và số hạng thứ năm của cấp số cộng này.

Lời giải: Số hạng tổng quát của cấp số cộng có dạng: an = a1 + (n – 1)d

Ta có: Sn = n(a1 + an)/2

Thay các giá trị cho biết vào công thức, ta được:

n^2 + n = n(a1 + a1 + (n – 1)d)/2

Đơn giản biểu thức, ta được:

2n + 2 = a1 + (n – 1)d

Giải phương trình trên với hai trường hợp n = 1 và n = 2, ta được:

a1 = 2

d = 0

Vậy công sai của cấp số cộng là d = 0 và số hạng thứ năm là a5 = a1 + (5 – 1)d = a1 = 2

Bài 6: Chứng minh các dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: -6; -2; 2; 6; 10.

Lời giải:

Để chứng minh một dãy số hữu hạn là một cấp số cộng, ta cần kiểm tra xem có tồn tại một số hạng chung d giữa các số hạng liên tiếp hay không. Nghĩa là, ta cần kiểm tra xem có đúng là:

un = u1 + (n – 1)d

với mọi n từ 1 đến số phần tử của dãy số.

Trong trường hợp này, ta có thể thử tính d bằng cách lấy hiệu giữa hai số hạng bất kỳ liên tiếp. Ví dụ:

d = -2 – (-6) = 4

d = 2 – (-2) = 4

d = 6 – 2 = 4

d = 10 – 6 = 4

Ta thấy d nhận giá trị như nhau cho mọi cặp số hạng liên tiếp, nên ta có thể kết luận rằng dãy số đã cho là một cấp số cộng với số hạng chung d = 4.

Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đặt u1 = -6 và thay vào công thức trên. Ta được:

un = -6 + (n – 1)4

Ta thử tính các giá trị của un với n từ 1 đến 5:

u1 = -6 + (1 – 1)4 = -6

u2 = -6 + (2 – 1)4 = -2

u3 = -6 + (3 – 1)4 = 2

u4 = -6 + (4 – 1)4 = 6

u5 = -6 + (5 – 1)4 = 10

Ta thấy các giá trị của un trùng khớp với các số hạng của dãy số đã cho, nên ta xác nhận được kết quả trên.

Bài 7: Cho cấp số cộng (Vn) có v5 = 25 và v15 = 125. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng trên.

Lời giải:

Để giải bài tập này, ta cần tìm công sai d của cấp số cộng (Vn). Ta có công thức:

vn = v1 + (n – 1)d

Thay n = 5 và v5 = 25 vào công thức, ta được:

25 = v1 + 4d

Thay n = 15 và v15 = 125 vào công thức, ta được:

125 = v1 + 14d

Giải hệ phương trình trên, ta được:

v1 = -15 và d = 10

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng (Vn) là:

vn = -15 + 10n