Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng trong hình học phẳng và thường được sử dụng trong các bài toán về đường thẳng và góc. Bài viết dưới đây với phương pháp giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng.
Mục lục bài viết
1. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng:
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng là một bài toán thường gặp trong hình học và đại số.
Để viết phương trình của đường thẳng này, chúng ta sẽ sử dụng thông tin về điểm đã cho và phương trình của đường thẳng ban đầu.
* Cơ sở lý thuyết:
– Cho điểm M có tọa độ (x₀, y₀) và đường thẳng Δ có phương trình ax + by + c = 0.
– Để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng Δ, ta sử dụng vectơ chỉ phương của Δ để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng mới.
* Phương pháp giải:
– Đường thẳng cần viết là d.
– Vì d đi qua điểm M (x₀, y₀), ta có điểm M thuộc đường thẳng d.
– Vì d vuông góc với Δ, ta sử dụng vectơ chỉ phương của Δ để xác định vectơ chỉ phương của d.
– Phương trình đường thẳng d có dạng:
– b . (x – x₀) + a . (y – y₀) = 0
* Chú ý: Các trường hợp đặc biệt:
+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có vec tơ chỉ phương là uΔ→ = k→ = (0 ;0 ; 1) .
+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có vec tơ chỉ phương là uΔ→ = j→ = (0 ;1; 0) .
+ Nếu Δvuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có vec tơ chỉ phương là uΔ→ = i→ = (1; 0; 0) .
2. Các bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: Hãy viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M (- 5, 1) và vuông góc với đường thẳng cho trước Δ: – 6x + 7y – 5 = 0.
Lời giải chi tiết:
Theo cách trên, ta có:
– Điểm M (- 5, 1) và đường thẳng Δ: – 6x + 7y – 5 = 0.
– Áp dụng công thức trên, ta có:
– 7. (x + 5) – 6 . (y – 1) = 0
→ 7x + 6y + 29 = 0
Vậy phương trình đường thẳng d là 7x + 6y + 29 = 0.
Ví dụ 2: Hãy viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M (2, 5) và vuông góc với đường thẳng cho trước Δ: {x = 1 – 3t, y = – 2t.
Lời giải chi tiết:
– Điểm M (2, 5) và đường thẳng Δ: { x = 1 – 3t, y = –2t }.
– Vectơ chỉ phương của Δ: 
Δ = (- 3, – 2).
– Vì d vuông góc với Δ, nên vectơ chỉ phương của d là d = (- 3, – 2).
– Áp dụng công thức trên, ta có:
– 3 . (x – 2) – 2 . (y – 5) = 0
→ 3x + 2y – 16 = 0
Vậy phương trình đường thẳng d là 3x + 2y – 16 = 0.
Ví dụ 3: Hãy viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M (8, 2) và vuông góc với đường thẳng cho trước Δ: 5y – x = 10.
Lời giải chi tiết:
– Bước 1: Đơn giản hóa phương trình của đường thẳng.
Nếu bạn được cung cấp phương trình của một đường thẳng và một điểm chung và được yêu cầu tìm một đường thẳng chạy vuông góc với nó, điều quan trọng là trước tiên bạn phải chuyển đổi phương trình thành dạng y = mx + b
+ Phương trình đã cho là 5y – x = 10.
+ Để cách ly y, đầu tiên phải chuyển – x vào phía đối diện của phương trình bằng cách thêm nó vào cả hai vế để có được 5y = x + 10.
+ Loại bỏ 5 trong 5 bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho
+ Phương trình mới sẽ là
y = 1/5x + 2.
– Bước 2: Tính đối của hệ số góc (độ dốc).
Khi một đường vuông góc với một đường thẳng khác, độ dốc sẽ ngược lại với đường ban đầu. Điều này được gọi là đối của hệ số góc. Các đường cắt nhau theo một góc vuông, vì vậy các sườn dốc phải ngược lại. Hai độ dốc vuông góc nhân với nhau sẽ luôn bằng −1.
+ Nhớ rằng m đại diện cho độ dốc của đường thẳng.
+ Đối ứng ngược lại của phương trình y = 1/5x + 2 là –5/1x hoặc –5.
– Bước 3: Thay điểm vào phương trình độ dốc để tìm điểm cắt trục tung.
+ Bây giờ bạn đã có độ dốc của đường vuông góc, bạn có thể thay giá trị của độ dốc và điểm bạn đã cho vào phương trình độ dốc để tìm ra giá trị của điểm cắt trục tung.
+ Thay thế các chữ cái vào phương trình y = mx + b với các giá trị độ dốc và tọa độ xy đã biết, ta được: 2 = −5(8) + b.
– Bước 4: Giải phương trình cho điểm cắt trục tung.
Khi bạn đã thay các giá trị của tìm được vào phương trình độ dốc, thì cần cô lập b, hoặc điểm cắt trục tung. Để cô lập b, bạn phải di chuyển tất cả các số khác từ một phía của phương trình.
Sau khi tìm được điểm cắt trục tung, bạn sẽ biết được tất cả các số cần thiết để viết phương trình của đường vuông góc.
+ Để cách ly b trong phương trình 2 = − 40 + b, thêm 40 vào cả hai phía của phương trình.
+ Phương trình cho điểm cắt trục tung của đường vuông góc là 42 = b.
– Bước 5: Sử dụng các giá trị cho độ dốc và điểm cắt trục tung để viết phương trình.
Khi bạn biết giá trị cho độ dốc và điểm cắt trục tung của đường thẳng, tất cả những gì bạn phải làm là lắp ráp lại các số vào công thức độ dốc y = mx + b.
+ Thay thế m với độ dốc bạn đã tính toán được và b với điểm cắt trục tung mà bạn tìm thấy.
+ Công thức cho đường vuông góc là y = – 5x + 42.
3. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng 
. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và d2. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
D. Không có phương trình chính tắc
Lời giải chi tiết:
+ Viết phương trình mặt phẳng (P)
Đường thẳng d1 đi qua A( 0; 2;0) và có vecto chỉ phương 
= (1; 1; – 4).
Đường thẳng d2 đi qua B( -2; 2; 0) và có vecto chỉ phương 
= (1; 1; – 4).
=> 
=> Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
Mặt phẳng (P) đi qua A( 0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến là: (0; 4; 1) nên có phương trình: 0( x- 0) + 4( y-2) + 1( z- 0) = 0 hay 4y+ z- 8= 0
+ Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là: 
.
=> Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.
Chọn D.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho mặt phẳng (P):2x- 3y+ 5z= 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P). Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua O và vuông góc với ( Q) là
Lời giải chi tiết:
Do mặt phẳng (Q) song song với (P) nên mặt phẳng (Q) có dạng: 2x- 3y +5z+ D= 0
Khi đó; mặt phẳng (Q) nhận vecto 
.
Vì d vuông góc với (Q) nên d có vectơ chỉ phương (2; – 3; 5).
Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương (2; – 3; 5) nên phương trình tham số của d là: 
.
Chọn D.
Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua M (1; 3; -2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm mệnh đề sai?
A. Phương trình tham số của Δ là: 
.
B. Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.
C. Điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d
D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P): 2x+ 3y+ z= 0.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vecto pháp tuyến là 
(0; 0; 1).
Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là:
= (0; 0; 1).
Vậy phương trình tham số của Δ là: không có phương trình chính tắc.
Cho t= 6 ta được điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d.
Mặt phẳng (P): 2x+ 3y + z= 0 có vecto pháp tuyến là : 
(2; 3; 1)
Ta có: 
= 2 . 0 + 3 . 0 + 1 . 1 = 1
=> Đường thẳng d và mặt phẳng ( P) không vuông góc với nhau.
Chọn D.
THAM KHẢO THÊM:
