Đơn thức là gì? Bậc của đơn thức? Cách tìm bậc đơn thức?

1. Hiểu như thế nào về đơn thức?

1.1. Đơn thức là gì?

Đơn thức là một biểu thức đại số bao gồm một số, một biến hoặc tích của các số và các biến. 

Định nghĩa: đơn thức là một biểu thức đại số gồm số, biến, kết quả hoặc thương hoặc một số hạng giữa số và biến. Ký hiệu của một đơn thức là f ( x ). Số 0 còn được gọi là đơn thức không.

1.2. Đơn thức thu gọn là gì?

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một tích của một số với các biến, màm ỗi biến đã được nâng tên tũy thừa với số mũ nguyên dương (mỗi biến chỉ được viết một lần).

Chú ý:

– Ta cũng coi một số là đơn thức thu gọn.

– Trong đơn thức thu gọn, mỗi biến chỉ được viết một lần, thường viết phía trước đơn thức, phần còn tại gọi là phần biến của đơn thức viết phía sau hệ số, các biến thường viết theo thứ tự của bảng chữ cái.

1.3. Đa thức là gì?

Đa thức là một đơn thức hoặc tổng của hai hay nhiều đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó. Nếu biểu thức gồm một biến thì gọi là đa thức một chiều, còn nếu biểu thức chứa hai biến trở lên gọi là đa thức nhiều biến.

1.4. Hệ số đơn thức là gì?

Phần hệ số của đơn thức là gì? Như đã đề cập ở trên, một đơn thức bao gồm tích của một số mà các biến của nó được nâng lên một lũy thừa và số nói trên được gọi là hệ số của đơn thức này. Ví dụ: ta có đơn thức 10xyz nên 10 là hệ số của đơn thức này. 

1.5. Phần biến của đơn thức là gì?

Biến trong đơn thức là gì? – Phần biến của đơn thức là phần viết  sau hệ số và thường được viết theo thứ tự bảng chữ cái. Ví dụ: Với đơn thức 8xyz thì “xyz” là phần biến của đơn thức này. 

Ví dụ: Các đơn thức là 5xy, 2xz, xy³; x³y³z³;… là các đơn thức rút gọn.

2. Bậc của đơn thức là gì?

Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 bằng tổng các số mũ của tất cả các biến trong đơn thức.

Ví dụ: 

‐ Đơn thức 2xy sẽ có bậc là 4

‐ Đơn thức 5xyz sẽ có bậc là 3

Lưu ý:

‐ Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.

‐ Một đơn thức không có bậc khi đơn thức đó là số 0

Ví dụ: 

‐ Đơn thức 10 hay -5 đều có bậc là 0. 

‐ Số 0 được coi là một đơn thức không có bậc.

3. Cách tìm bậc của đơn thức:

Để tìm bậc của một đơn thức ta phải làm như sau: 

‐ Bước 1: Đưa đơn thức về đơn thức thu gọn. Tiếp theo, tất cả các biến của đơn thức này được liệt kê. 

‐ Bước 2: Xác định số mũ cho từng biến được liệt kê trước đó. 

‐ Bước 3: Cộng các số mũ của tất cả các biến trong đơn thức. Như vậy, ta nhận thấy bậc của đơn thức đã cho bằng tổng các số mũ vừa tính được.

Ví dụ:

Cho đơn thức 5x³y²z.

‐ Bước 1: 5x³y²z đã là mô thức đơn thức rút gọn. Sau đó hãy liệt kê các biến của đơn thức lần lượt là x, y, z.

‐ Bước 2: Trong đơn thức, số mũ của biên soạn x là 3; số mũ của biến y là 2; số mũ của biến z là 1.

‐ Bước 3: Cộng tất cả số mũ của các biến trong đơn thức thức lại ta được: 3 + 2 + 1 = 6. Khi đó ta nói bậc của đơn thức đã cho là 6.

4. Cách tính đơn thức:

4.1. Cách nhân đơn thức với đơn thức:

Nhân hai đơn thức chứa hệ số và phần biến bằng cách nhân cả hệ số và nhân phần biến. Sau khi nhân hai đơn thức, ta kết hợp quy tắc nhân các số và nhân hai lũy thừa cùng cơ số. Mọi đơn thức bất khả quy dù dài hay ngắn đều có thể viết dưới dạng đơn thức rút gọn.

Ví dụ 1: Nhân hai đơn thức – 5xy³.125x⁵y²

Ta có:

(-5xy³). 125x⁵y² = (-5.125) × (x.x⁵) × (y².y³) = -625x⁶y⁵

Do đó, 625x⁶y⁵ là tích của hai đơn thức – 5xy³.125x⁵y² 

Ví dụ 2: Nhân hai đơn thức 12xy với 4x².

Ta có: 12xy.4x² = (12.4) × (x.x²) = y48x³.

Ta được y48x³ là tích của hai đơn thức 12xy.4x².

4.2. Cách cộng trừ các đơn thức:

Để cộng hoặc trừ các đơn thức đồng dạng ta chỉ cần cộng hoặc trừ các hệ số của các đơn thức đồng dạng đã cho và giữ nguyên phần biến, vì đơn thức đồng dạng và phần biến bằng nhau nên chỉ cần tính phần hệ số.

Ví dụ 1: Ta có đơn thức

5x²y² + 7x²y² = (5 + 7) x²y² = 12x²y².

Ví dụ 2: Ta có đơn thức

2x²y³ + 3x²y³ – 5x²y³ = (2 + 3 – 5)x²y³ = 0

4.3. Cách chia đơn thức cho đơn thức:

Để chia đơn thức A cho B (nếu A chia hết cho B) ta có thể làm như sau:

‐ Bước 1: Trước hết chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

‐ Bước 2: Sau đó chia mỗi lũy thừa của A cho mỗi B đến lũy thừa của biến. 

‐ Bước 3: Nhân kết quả vừa tìm được để được đáp số.

Ví dụ: 

Ta có đơn thức 28x⁴:14x²

Ta có hệ số của đơn thức A là 39 và hệ số của đơn thức B là 14, lũy thừa của biến A là x và lũy thừa của biến số B là x. 

Ta được 28x⁴:14x² = (28 :14).x⁴x² = 2x²

Ta có kết quả 2x² là thương của hai đơn thức 28x⁴ và 14x².

4.4. Cách chia đa thức cho đơn thức:

Để chia đa thức A cho đơn thức B (nếu các số hạng của A đều chia hết cho đơn thức B), trước tiên hãy chia mỗi số hạng của A cho B rồi cộng các kết quả lại với nhau.

Ví dụ: 

Thực hiện phép tính: (-2x⁴ + 6x² – 4x³) : 2x² 

Ta có (-2x⁴ + 6x² – 4x³) : 2x² = (-2x⁴ : 2x²) + (6x² : 2x²) – (4x³ : 2x²) = -x² – 2x + 3

4.5. Cách nhân đơn thức với đa thức:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích vừa nhân ta được kết quả mong muốn.

Ví dụ: Thực hiện phép tính x².(4x³ – x – 1)

Ta có: x².(4x³ – x – 1) = x².4x³ – x².x – x² = 4x⁵ – x³ ‐ x²

Như vậy, ta có kết quả 4x⁵ – x³ ‐ x² là tích của đơn thức x² với đa thức 4x³ – x – 1.

4.6. Cách nhân đa thức với đa thức:

Ta nhân đa thức A với đa thức B theo quy tắc sau: đầu tiên nhân từng hạng tử của đa thức A với từng hạng tử của đa thức B, sau đó cộng các tích. 

Ví dụ: Tính ( x – 5 ) . ( 2x + 1 ) 

Ta có: ( x – 5 ) . (2x + 1) 

= x. (2x +  1) – 5 . (2x + 1)

= 2x² + x – 10x – 5²

= 2x² – 9x – 5

4.7. Cách chia đa thức cho đa thức:

Chia đa thức A cho đa thức B. Vì A và B là hai đa thức bất kỳ cùng biến nhưng B phải khác 0 nên chỉ tồn tại một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q R, trong đó R phải bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B nên ta có thể chia hai đa thức cho nhau.

5. Cách rút gọn một đơn thức:

Để có thể thu gọn một đơn thức cần thực hiện các bước sau:

‐ Bước 1: Xác định dấu duy nhất của đơn thức đã cho thay vào dấu của đơn thức cần rút gọn. Ký tự duy nhất là ” + ” nếu đơn thức không chứa ký tự ” – ” hoặc chứa số chẵn lần ” – “. Nếu đơn thức không chứa dấu ” + ” hoặc chứa số lẻ mang dấu ” – ” thì nó mang dấu ” – “. 

‐ Bước 2: Nhóm các thừa số là số hoặc hằng số rồi cộng chúng lại với nhau. 

‐ Nhóm các biến và xếp chúng theo cùng một thứ tự bảng chữ cái, ví dụ đơn thức có hai biến x hoặc đơn thức có hai biến y ta nhóm chúng lại và cộng thêm số mũ. 

Ví dụ: thực hiện thu gọn đơn thức: 7xy².(-4)xyz³

Ta sẽ được: 7xy².(-4)xyz³ 

= 7.(-4).(x.x).(y².y).z³

= 28x⁴y³z

6. Các dạng toán thường gặp với đơn thức:

Dạng 1: Nhận biết đơn thức 

Để nhận biết đơn thức ta phải dựa vào định nghĩa của đơn thức. Sau đó xét các phần tử của một biểu thức đại số  gồm: một số, một biến hoặc tích của các số và các biến để rút ra kết luận. 

Dạng 2: Tính giá trị của đơn thức 

Cách giải bài toán tính giá trị của đơn thức là trước hết thay giá trị của các biến đã cho bằng đơn thức vừa tính được rồi thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân và chia như bình thường. 

Dạng 3: Tính tích của các đơn thức 

Để giải bài toán nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau rồi nhân phần biến (phần biến thì ta cũng sắp thứ tự theo thứ tự các chữ cái giống nhau và thêm số mũ của các chữ cái giống nhau).

7. Bài tập củng cố về đơn thức:

Sau đây là một số dạng bài tập về đơn thức thường gặp để có thể vận dụng để củng cố kiến ​​thức.

Bài tập 1: Xác định đơn thức từ những biểu thức đã cho và nếu là đơn thức thì hãy chỉ ra đâu là phần hệ số và đâu là phần biến.

a/ 5x²y³

b/ 8 – x²

c/ 7⁄3 + 7x

d/ 6xz

Lời giải:

‐ Đơn thức là câu a và d, vì chúng là tích của các hệ số và biến.

Cụ thể, trong đơn thức 5x²y³ có 5 là phần hệ số và x²y³ là phần biến. Trong đơn thức 6xz có 6 là phần hệ số còn xz là phần biến.

‐ Biểu thức trong câu b và c không phải là đơn thức vì chúng đồng thời chứa cả phép cộng và phép trừ. 

Bài tập 2: Từ những đơn thức đã cho, hãy tính tích của chúng và cho biết bậc của đơn thức đã tính được. 

3x²y và xy²

x²y và 2x²yz³

-4x và 3xyz

-½ x²yz và -⅓ xz

Bài tập 3: Tính tích của những đơn thức dưới đây và xác định bậc của đơn thức thu được sau đó tính giá trị của đơn thức thu được với x = -1, y = 2, z = 2.

xyz ; x³yz ; -4yz²

5xy ; 3yz ; -7y²z³