Cát tuyến là gì? Tính chất, xác định cát tuyến đường tròn?

1. Khái niệm và ứng dụng của cát tuyến:

1.1. Khái niệm của cát tuyến:

Cát tuyến là một từ Hán Việt với “cát” có nghĩa là cắt, “tuyến” là đường thẳng, cát tuyến là đường thẳng cắt ngang qua một bề mặt khác như đường cong, đường tròn,… Định nghĩa cát tuyến của đường tròn được nêu trong sách giáo khoa hình học lớp 9 như sau: 

Cát tuyến của đường tròn chính là đường thẳng cắt đường tròn đó tại 2 điểm phân biệt. Tức là giao điểm giữa đường cát tuyến và đường tròn là hai điểm thuộc đường tròn đó. Trường hợp đặc biệt của cát tuyến chính là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn. Khi ấy cát tuyến của đường tròn sẽ trùng với đường kính đường tròn đó.

Một số ví dụ về đường cát tuyến:

Vd1: Cát tuyến của hai đường thẳng là một đường thẳng cắt hai đường thẳng đó.

Vd2: Cát tuyến của đường tròn cắt đường tròn tại hai điểm bất kì thuộc đường tròn đó.

Vd3: cát tuyến của một cung tròn cắt cung tròn tại hai điểm phân biệt.

1.2. Ứng dụng đường cát tuyến hình tròn:

Đường cát tuyến hình tròn có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ, tam giác đồng dạng, đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Một số ví dụ về ứng dụng đường cát tuyến hình tròn là:

• Tính chiều cao của một ngọn núi khi biết góc nhìn từ hai điểm cách nhau một khoảng xác định.
• Tính bán kính của một đường tròn khi biết hai cát tuyến của nó và khoảng cách giữa hai điểm giao của chúng với đường tròn.
• Tính diện tích của một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn khi biết các cạnh của nó và các góc tạo bởi các cát tuyến của chúng.
• Tính chiều dài của một cung tròn khi biết hai tiếp tuyến và một cát tuyến của nó

2. Đặc điểm, tính chất đường cát tuyến:

Đường cát tuyến là đường thẳng cắt một đường khác (đường thẳng, đường tròn, đường cong,…) tại hai điểm phân biệt. Đường cát tuyến có một số tính chất sau:

• Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tích các đoạn của mỗi dây bằng nhau.
• Nếu hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và tích các đoạn của mỗi đường bằng nhau thì bốn điểm thuộc cùng một đường tròn.
• Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến và một đường thẳng là cát tuyến của một đường tròn thì bình phương của tiếp tuyến bằng tích hai đoạn của cát tuyến.
• Nếu từ một điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì trung điểm của cát tuyến thuộc trung trực của hai tiếp điểm.
• Nếu từ một điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì tỉ số các đoạn của cát tuyến bằng tỉ số các tiếp tuyến

3. Cách xác định cát tuyến đường tròn:

Cách vẽ đường cát tuyến của đường tròn và đường cong là yêu cầu cơ bản trong bài toán liên quan đến đường cát tuyến. Sau đây chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách vẽ cát tuyến chỉ với 2 bước đơn giản là:

• Bước 1: Xác định hai điểm bất kì thuộc đường tròn hoặc cung tròn. Lưu ý đối với đường tròn, nếu không có yêu cầu đặc biệt thì bạn không nên chọn hai điểm nằm trên đường kính của đường tròn đó.
• Bước 2: Vẽ một đường thẳng bằng cách nối hai điểm vừa xác định. Đường thẳng này chính là đường cát tuyến, nó cắt và chia đường tròn thành hai cung.

Ngoài ra, bạn cũng có thể dùng các tính chất của cát tuyến để xác định cát tuyến của đường tròn. Một số tính chất quan trọng là: Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tích các đoạn của mỗi dây bằng nhau. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến và một đường thẳng là cát tuyến của một đường tròn thì bình phương của tiếp tuyến bằng tích hai đoạn của cát tuyến. Nếu từ một điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì tỉ số các đoạn của cát tuyến bằng tỷ số các tiếp tuyến.

4. Bài tập về cát tuyến:

Ví dụ 1: Từ 1 điểm M nằm ngoài đường tròn (O) bạn hãy vẽ 1 đường cát tuyến MCD không đi qua tâm đường tròn O và có hai tiếp tuyến lần lượt là MA và MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B chính là các tiếp điểm và điểm C sẽ nằm giữa M, D.

1. Chứng minh bất đẳng thức sau : MA.MA = MC.MD

2. Gọi I chính là trung điểm của đoạn thẳng CD. Hãy chứng minh rằng 4 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.

3. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng HB và MO. Hãy chứng minh rằng tứ giác CHOD là tứ giác nội tiếp với đường tròn (O) và HB là đường phân giác của góc CHD.

4. Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến lần lượt tại hai điểm C và D của đường tròn (O). Hãy chứng minh rằng 3 điểm A, B, K sẽ cùng nằm trên một đường thẳng.

Gợi ý đáp án:

Vì MA chính là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:

Góc MAC bằng Góc MDA suy ra ΔMAC ~ ΔMDA (g.g)

=> MA/MD sẽ bằng MC/MA suy ra MA.MA bằng MC.MD

Vì I là trung điểm của CD nên suy ra

Góc MIO = 90 độ và bằng với góc MAO và góc MBO. Từ những điểm trên ta có thể kết luận được M, A, O, I, B sẽ cùng thuộc trên 1 đường tròn.

Vì ta có đoạn MA vuông góc với đoạn OA, đoạn OM vuông góc với đoạn OB tại điểm H. Suy ra MH.MO bằng MA.MA bằng MC.MD

=> MA/MD bằng MC/MA -> ΔMHC ~ ΔMDC -> Góc MHC bằng với góc MDO.

=> Tứ giác HDCO là tứ giác nội tiếp của đường tròn tâm O.

=> Góc OHD bằng góc OCD bằng góc ODC bằng góc MHC

Ta có 90 độ – góc MHC = 90 độ – góc OHD sau ra góc CHB bằng với góc BHD

Từ đó ta có thể kết luận rằng: đoạn HB chính là phân giác của góc CHD.

Ta có HB là phân giác của góc CHD

Vì KC, KD lần lượt là hai đường tiếp tuyến của đường tròn (O) suy ra KCOD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) mà HOCD lại là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên). Như vậy suy ra 4 điểm K, C, H, O, D phải cùng nằm trên 1 đường tròn. 

Mà lại có HK là phân giác của góc CHD do KC sẽ bằng KD

=> 3 điểm A, B, K phải thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho 2 đường thẳng song song a, b và một đường cát tuyến c. Hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại điểm I. Chứng minh điểm I cách đều 3 đường thẳng a, b và c.

Gợi ý đáp án:

Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c. 

Xét hai góc trong cùng phía CEA và CFB ta có:

Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên IA = IC (1)

Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên IC = IB (2)

Từ (1) và (2) => IA = IB = IC

=> I cách đều đường thẳng a, b và c.

Ví dụ 3: Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn tâm O, hãy kẻ các tiếp tuyến KA, KB và kẻ thêm đường cát tuyến KCD đến đường tròn. Lấy M là giao điểm AB và OK. Vẽ đoạn DI đi qua M. Chứng minh:

a) KIOD là tứ giác nội tiếp.

b) KO là đường phân giác góc IKD.

Gợi ý đáp án:

a)

Ta có tứ giác AIBD nội tiếp đường tròn (O) và AB ⋂ ID = M

=> MA.MB = MI.MD (1)

Mặt khác ta có góc KAO = góc KBO = 90⁰ => OBKA là tứ giác nội tiếp 

=> MA.MB = MO.MK (2)

Từ (1) và (2) => MI.MD = MO.MK

=> KIOD là một tứ giác nội tiếp

b)

Vì KIOD là tứ giác nội tiếp

Nên góc DKO = góc DIO

góc OKI = góc ODI

Mà ΔDOI cân tại O nên góc DIO = góc DOI

=> góc DKO = góc OKI

Do đó KO là phân giác góc IKD