Hình bình hành là gì? Tính chất và nhận biết hình bình hành?

1. Hình bình hành là gì?

Hình bình hành trong hình học Euclide là một hình tứ giác được tạo bởi hai cặp đường thẳng song song cắt nhau. Nó là một dạng đặc biệt của hình thang.

Trong không gian 3 chiều, khối tương đương với hình bình hành là hình khối lục diện. Hay nói cách khác, hình bình hành là một tức giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD từ đó ta sẽ được cặp: AB//CD và AC// BD

2. Tính chất và công thức hình bình hành:

Tính chất hình bình hành

– Các cạnh đối song song với nhau và bằng nhau.

– Các góc đối bằng nhau.

– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Công thức tính chu vi hình bình hành

Chu vi của tứ giác sẽ bằng tổng độ dài 4 cạnh của tứ giác đó. Vậy chu vi hình bình hành sẽ bằng 2 lần tổng độ dài của cặp cạnh kề nhau trong hình bình hành đó.

Công thức tính chu vi hình bình hành

C=2.(a+b)

Trong đó: C là chu vi hình bình hành ABCD

a là độ dài cạnh AB và CD

b là độ dài cạnh Ac và BD

Bài tập ví dụ: Cho hình bình hành MNPQ, từ điểm M kẻ đường thẳng MH sao cho AH vuông góc với PQ. Biết MH=8cm và PQ=15cm. Tính diện tích hình bình hành MNPQ?

Giải

Diện tích hình bình hành MNPQ là:

S=a.h=MH.PQ= 8.15= 120(cm2)

Đáp số: 120cm2

Công thức tính diện tích hình bình hành khi biết 2 đường chéo

Cho hình bình hành ABCD có AC và BD là hai đường chéo, O là giao điểm của hai đường chéo, số đo góc AOB tạo bởi hai đường chéo. Diện tích của hình bình hành khi biết độ dài hai đường chéo được tính toán như sau:

S = 1/2.AC.BD.Sin(AOB) = 1/2.AC.BD.Sin(AOD)

Công thức tổng quát để tính diện tích hình của bình hành khi biết hai đường chéo sẽ là: S = 1/2.c.d.sinα

Trong đó:

a là độ dài cạnh AB và CD

b là độ dài cạnh Ac và BD

Bài tập ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB=CD=5cm, cạnh AC=BD=12cm. Tính chu vi hình bình hành ABCD?

Giải:

Chu vi hình bình hành ABCD là:

C=2.(a+b)=2.5.12= 120(cm)

Đáp số: 120cm

Công thức tính diện tích hình bình hành

Diện tích hình bình hành bằng chiều cao nhân với đáy tương ứng với nó.

S=a.h

Trong đó: S là diện tích hình bình hành ABCD

h là chiều cao của hình bình hành

a là độ dài cạnh đáy tương ứng

Bài tập ví dụ: Cho hình bình hành MNPQ, từ điểm M kẻ đường thẳng MH sao cho AH vuông góc với PQ. Biết MH=8cm và PQ=15cm. Tính diện tích hình bình hành MNPQ?

Giải

Diện tích hình bình hành MNPQ là:

S=a.h=MH.PQ= 8.15= 120(cm2)

Đáp số: 120cm2

Công thức tính diện tích hình bình hành khi biết 2 đường chéo

Cho hình bình hành ABCD có AC và BD là hai đường chéo, O là giao điểm của hai đường chéo, số đo góc AOB tạo bởi hai đường chéo. Diện tích của hình bình hành khi biết độ dài hai đường chéo được tính toán như sau:

S = 1/2.AC.BD.Sin(AOB) = 1/2.AC.BD.Sin(AOD)

Công thức tổng quát để tính diện tích hình của bình hành khi biết hai đường chéo sẽ là: S = 1/2.c.d.sinα

Trong đó:

C và d lần lượt là độ dài của hai đường chéo của hình bình hành

a là góc được tạo bởi hai đường chéo

3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: 

Hình bình hành là một tứ giác đặc biệt

– Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

– Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

– Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song và vừa bằng nhau là hình bình hành.

– Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

– Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

– Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành

– Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành

Hình bình hành là hình thang khi:

• Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.

4. Một số dạng toán liên quan đến hình bình hành: 

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học.

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Ví dụ minh họa:  Cho hình bình hành ABCD . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD .

a) Chứng minh rằng AF // CE

b) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, CE. Chứng minh rằng DM = MN = NB.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.

Ví dụ minh họa: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BD, AB, AC, CD.

a) Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành

b) Cho AD = a, BD = b. Tính chu vi hình bình hành EFGH.

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy.

Ví dụ minh họa: Cho hình bình hành ABCD. Lấy N thuộc AB, M thuộc CD sao cho AN = CM.

a) Chứng minh rằng: AM // CN

b) Chứng minh rằng: DN = BM

c) Chứng minh rằng: AC, BD, MN đồng quy.

5. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Hình bình hành ABCD có cạnh đáy AB = 15cm, chiều cao AH bằng 3/5 cạnh đáy. Tính diện tích của hình bình hành đó.

Lời giải:

Chiều cao của hình bình hành ABCD bằng:

15 x 3/5 = 9 (cm)

Diện tích hình bình hành ABCD bằng:

15 x 9 = 135 (cm2)

Đáp số: 135cm2.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: DE = BF

Lời giải:

Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)

EB = 1/2 AB (gt)

FD = 1/2 CD (gt)

Suy ra: EB = FD (1)

Mà AB // CD (gt)

⇒ BE // FD (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành)

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và từ C đến BD.

a) Chứng minh AHCK là hình bình hành

b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, gọi N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng AN = CM.

c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh rằng O, M, N thẳng hàng

Lời giải:

a) Xét AHD và CKB có:

H = K = 90⁰

AD = BC (cạnh đối của hình bình hành)

D1 = B1 (so le trong)

=>AHD = CKB (cạnh huyền – góc nhọn) => AH = CK

Ta lại có AH // CK (cùng vuông góc với BD)

=> Tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Tứ giác AHCK là hình bình hành nên AK // CH hay AM // CN.

Ta lại có AN // CM (ABCD là hình bình hành)

=> Tứ giác ANCM là hình bình hành => AN = CM (đpcm)

c) Hình bình hành AHCK có O là trung điểm HK nên O là trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành).

Hình bình hành ANCM có O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của MN.

=> M, N, O thẳng hàng (đpcm)

Bài 4:  Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Nối đường chéo AC.

Trong ΔABC ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của ΔABC

⇒EF//AC và EF = 1/2 AC

(tính chất đường trung hình tam giác) (1)

Trong ΔADC ta có:

H là trung điểm của AD (gt)

G là trung điểm của DC (gt)

Nên HG là đường trung bình của ΔADC

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB, Đường chéo BD cắt AI, UK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng DE = EF = FB

Lời giải:

Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)

AK = 1/2 AB (gt)

CI = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AK = CI (1)

Mặt khác: AB // CD (gt)

⇒ AK // CI (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

⇒ AI // CK

Trong ΔABE, ta có:

K là trung điểm của AB (gt)

AI // CK hay KF // AE nên BF = EF (tính chất đường trung bình tam giác)

Trong ΔDCF, ta có:

I là trung điểm của DC (gt)

AI // CK hay IE // CF nên DE = EF (tính chất đường trung bình tam giác)

Suy ra: DE = EF = FB.

Trên đây là những kiến thức cơ bản về hình bình hành nhằm củng cố giúp các bạn vận dụng vào những bài tập vận dụng.