Cách tính chu vi hình thang? Công thức tính diện tích hình thang?

Hình thang là một hình học phổ biến và đơn giản trong Toán học. Đây là dạng hình rất hay được sử dụng trong các bài tập hình học đặc biệt là các dạng toán nâng cao. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp tất cả kiến thức liên quan đến hình thang.

1. Hình thang là gì?

1.1. Khái niệm:

Hình thang trong hình học Euclide là một tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang, hai cạnh còn lại gọi là cạnh bên.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song, hai góc kề một cạnh bên có tổng bằng 180 độ.

Hình thang là tứ giác lồi có 4 cạnh. Trong đó có hai cạnh song song với nhau được gọi là cạnh đáy, hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên.

Ngoài ra hình thang còn có một số trường hợp đặc biệt như:

- Hình thang vuông: Hình thang có 1 góc vuông được gọi là hình thang vuông

- Hình thang cân: Hình thang có 2 góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang vuông cân: Là hình thang vừa vuông vừa cân và còn được gọi là hình chữ nhật.

1.2. Tính chất của hình thang:

Tính chất về cạnh

- Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên sẽ song song và bằng nhau.

- Hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau.

Đường trung bình của hình thang:

-  Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang

Tính chất: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Tính chất về góc

- Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ ( Hai hóc nằm ở vị trí trong cùng của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy) .

- Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.

1.3. Dấu hiệu nhận biết:

Dấu hiệu nhận biết hình thang chính là định nghĩa của hình thang hay: tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có AB // CD ⇔ Tứ giác ABCD là hình thang.

Tổng hợp các dấu hiệu nhận biết hình thang là:

- Hình thang là hình tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau.

- Tứ giác là hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.

- Tứ giác là hình thang có hai góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau thì là hình thang cân.

- Tứ giác là hình thang có hai cạnh bên hình thang bằng nhau thì là hình thang cân.

- Tứ giác là hình thang mà hai đường chéo của chúng bằng nhau thì là hình thang cân.

Lưu ý: đối với dấu hiệu nhận biết hình thang cân thì đơn giản hơn:

- Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang có hai trục đối xứng của hai đáy trùng nhau là hình thang cân.

- Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.

2. Công thức tính chu vi hình thang:

2.1. Công thức tính chu vi hình thang thường:

Chu vi hình thang là độ dài đường bao quanh một hình thang. Từ chu vi được dùng với cả hai nghĩa là đường bao quanh một diện tích hình thang và tổng độ dài của đường này.

Công thức tính chu vi hình thang: Chu vi hình thang bằng tổng các cạnh bên và cạnh đáy.

P = a + b + c + d

Trong đó: P là chu vi hình thang,

                a và b lần lượt là độ dài 2 cạnh đáy,

                c và d lần lượt là độ dài 2 cạnh bên.

Ví dụ minh họa: Một hình thang có độ dài các cạnh bên lần lượt là 8cm, độ dài đáy lớn là 16 cm và độ dài đáy bé là 8 cm. Tính chu vi hình thang.

Bài giải:

Chu vi hình thang là:

8+8+8+16 = 40 (cm)

Đáp số chu vi của hình thang = 40 cm.

2.2. Công thức tính chu vi hình thang vuông:

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Cạnh bên góc vuông là chiều cao của hình thang. Hình thang vuông có cách tính chu vi tương tự hình thang thường.

P = a + b + c + d

Trong đó:

P là ký hiệu chu vi.

a, b là hai cạnh đáy hình thang.

c, d là cạnh bên hình thang.

2.3. Công thức tính chu vi hình thang cân:

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 2 cạnh bên của hình thang cân bằng nhau, không song song với nhau. Công thức tính chu vi hình thang cân là:

P = (2 x a) + b + c

Trong đó:

P là ký hiệu chu vi.

a, b là hai cạnh đáy hình thang.

c, d là cạnh bên hình thang.

Một số hình thang cân đặc biệt như: Hình bình hành là hình thang có 2 cạnh đáy bằng nhau và 2 cạnh bên song song và bằng nhau. Hình chữ nhật là hình thang vừa vuông vừa cân.

3. Công thức tính diện tích hình thang:

Công thức tính diện tích hình thang: trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy.

S = (a + b)/2 x h

Trong đó: S là diện tích hình thang.

                 a và b là độ dài 2 cạnh đáy.

                 h là chiều cao hạ từ cạnh đáy a xuống b hoặc ngược lại (khoảng cách giữa 2 cạnh đáy).

Còn có bài thơ về tính diện tích hình thang khá dễ nhớ như sau:

Muốn tính diện tích hình thang

Đáy lớn đáy nhỏ ta đem cộng vào

Cộng vào nhân với chiều cao

Chia đôi lấy nửa thế nào cũng ra

Công thức tính diện tích hình thang khi biết 4 cạnh (bài toán nâng cao)

Hình thang với chiều dài 4 cạnh

Trong trường hợp bài toán cho dữ kiện biết độ dài của 4 cạnh, nói rõ cạnh đáy a, c với cạnh đáy c lớn hơn cạnh đáy a, cạnh bên là b và d thì bạn có thể tính được diện tích hình thang theo công thức sau.

Công thức tính diện tích hình thang khi biết 4 cạnh

Trong đó: S: Diện tích

                 a: cạnh đáy bé

                 c: cạnh đáy lớn

                 b, d: cạnh bên hình thang

Cách tính diện tích hình thang vuông

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Cạnh bên vuông góc với hai đáy cũng chính là chiều cao h của hình thang.

Công thức chung tính diện tích hình thang vuông tương tự như hình thang thường: trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy.

S = (a + b)/2 x h

Trong đó: S là diện tích hình thang.

                 a và b là độ dài 2 cạnh đáy.

                 h là độ dài cạnh bên vuông góc với 2 đáy.

4. Các dạng bài tập về hình thang:

Dạng 1: Tính chu vi hình bình thang khi viết độ dài các đáy và cạnh bên

Ví dụ: Tính chu vi của hình thang, biết đáy lớn bằng 12 cm; đáy bé bằng 10 cm và hai cạnh bên lần lượt bằng 7 cm và 8 cm

Lời giải:

Chu vi hình thang là:

12 + 10 + 7 + 8 = 37 (cm)

Đáp số: 37cm

Dạng 2: Tính độ dài cạnh bên của hình thang cân khi biết chu vi

Ví dụ: Tính độ dài của hình thang có hai cạnh bên bằng nhau biết chu vi của hình thang bằng 68cm và độ dài hai cạnh đáy lần lượt là 20cm và 26cm.

Lời giải:

Tổng độ dài hai cạnh bên của hình thang là:

68 – 20 – 26 = 22 (cm)

Độ dài cạnh bên của hình thang là:

22 : 2 = 11 (cm)

Đáp số: 11cm

Dạng 3: Tính diện tích hình bình thang khi biết độ dài hai đáy và chiều cao

Ví dụ: Cho hình thang có độ dài đáy nhỏ bằng 5cm, đáy lớn bằng 10cm. Chiều cao của hình thang bằng 6cm. Tính diện tích của hình thang đó.

Lời giải:

Diện tích hình thang là:

(5 + 10) x 6 : 2 = 45 (cm2)

Đáp số: 45cm2

Dạng 4: Tính chiều cao khi biết độ dài hai đáy và diện tích

Ví dụ: Một hình thang vuông có diện tích bằng 14dm2, đáy bé bằng 2dm và đáy lớn bằng 5dm. Tính độ dài chiều cao của hình thang vuông đó.

Từ công thức tính diện tích hình thang, ta suy ra được công thức tính chiều cao của hình thang, đó là: h = S x 2 : (a + b) (Để tính chiều cao của hình thang, ta lấy diện tích chia cho trung bình cộng của hai đáy.)

Lời giải:

Độ dài chiều cao của hình thang là:

14 x 2 : (2 + 5) = 4 (dm)

Đáp số: 4dm

Dạng 5: Tính diện tích hình thang khi chưa biết độ dài hai đáy và chiều cao

Ví dụ 1: Một hình thang có chiều cao bằng 56cm. Đáy lớn hơn đáy bé 24cm và đáy bé bằng 2/5 đáy lớn. Tính diện tích hình thang.

Lời giải:

Hiệu số phần bằng nhau là:

5 – 2 = 3 (phần)

Độ dài đáy lớn là:

24 : 3 x 5 = 40 (cm)

Độ dài đáy bé là:

40 – 24 = 16 (cm)

Diện tích hình thang là:

(16 + 40) x 56 : 2 = 1568 (cm2)

Đáp số: 1568cm2

5. Một số bài tập về hình thang:

Bài 1: Cho hình thang có hai cạnh đáy lần lượt là 6cm và 4cm. Chiều dài của cạnh bên bằng một nửa tổng độ dài hai cạnh đáy. Tính chu vi của hình thang đó, biết rằng hình thang có hai cạnh bên bằng nhau?

Bài 2: Một hình thang có độ dài đáy lớn bằng 4,5dm; độ dài đáy nhỏ bẳng 60cm và chiều cao bằng 8dm. Tính diện tích của hình thang đó.

Bài 3: Có một mảnh đất hình thang với đáy bé là 24m, đáy lớn là 30m. Mở rộng hai dáy về phía bên phải của mảnh đất với đáy lớn thêm 7m, đáy nhỏ thêm 5m thu được mảnh đất hình thang mới với diện tích lớn hơn diện tích ban đầu là 36m2. Tính diện tích mảnh đất hình thang ban đầu.

BÀI 4: Tính diện tích hình thang có đáy lớn bằng 50 dm và bằng 80% chiều cao, đáy bé kém đáy lớn 12 dm.

BÀI 5: Tính diện tích hình thang có chiều cao bằng 4 dm, đáy bé bằng 80% chiều cao và kém đáy lớn 1,2 dm.

BÀI 6: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 24 cm, đáy lớn hơn đáy bé 1,2 cm, chiều cao kém đáy bé 2,4 cm. Tính diện tích hình thang.

BÀI 7: Hình thang có đáy lớn hơn đáy bé 20,4 dm và bằng 5/3 đáy bé, chiều cao hơn đáy bé 2,1 dm. Tính diện tích hình thang.

BÀI 8: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 14,5 dm, đáy lớn gấp rưỡi đáy bé, chiều cao kém đáy bé 2,8 dm. Tính diện tích hình thang.

BÀI 9: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 30,5 dm, đáy lớn bằng 1,5 lần đáy bé, chiều cao hơn đáy bé 6,2 dm. Tính diện tích hình thang.

BÀI 10: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 60 m, 1/3 đáy lớn bằng 1/2 đáy bé, chiều cao bằng 80% đáy bé. Tính diện tích hình thang.

Bài 11: Tính diện tích hình thang biết:

a) Độ dài hai đáy lần lượt là 12cm và 8cm; chiều cao là 5cm.

b) Độ dài hai đáy lần lượt là 9,4m và 6,6m; chiều cao là 10,5m.

Bài 12: Một hình thang có đáy nhỏ dài 7cm, đáy lớn dài 17cm được chia thành hai hình thang có đáy chung dài 13cm. Hãy so sánh diện tích hai hình thang có đáy chung nói trên.