Bất đẳng thức là gì? Tính chất của bất đẳng thức? Lấy ví dụ?
Bất đẳng thức một chủ đề dễ dàng sáng tạo ra nhiều bài toán mới nhất. Thông qua bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu về định nghĩa của bất đẳng thức, các tính chất và các loại bất đẳng thức thường gặp.
- 1. Bất đẳng thức là gì?
- 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
- 3. Tính chất của bất đẳng thức:
- 3.1. Tính chất bắc cầu:
- 3.2. Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số:
- 3.3. Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số:
- 3.4. Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều:
- 3.5. Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều:
- 3.6. Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một luỹ thừa:
- 3.7. Khai căn hai vế của một bất đẳng thức:
- 4. Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân ( Bất đẳng thức Cô-si):
- 4.1. Bất đẳng thức Cô-si:
- 4.2. Hệ quả:
- 5. Bất đẳng thức đặc biệt:
- 5.1. Bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
- 5.2. Bất đẳng thức trong tam giác:
- 5.3. Bất đẳng thức Bunhi-a-cop-xki:
- 6. Bài tập vận dụng bất đẳng thức:
1. Bất đẳng thức là gì?
Bất đẳng thức (inequality): là một mệnh đề có một trong các dạng sau đây: A > B, A < B, A ≥ B, A ≤ B.
Trong đó:
A, B là biểu thức phép toán.
A: là vế trái của bất đẳng thức.
B: là vế phải của bất đẳng thức.
Ký hiệu:
A > B: nghĩa là A lớn hơn B.
A < B: nghĩa là A nhỏ hơn B.
A ≥ B: nghĩa là A lớn hơn hoặc bằng B.
A ≤ B: nghĩa là A nhỏ hơn hoặc bằng B.
Ví dụ: 20 < 21; 205 > 100;… được gọi là bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
Từ định nghĩa về bất đẳng thức, ta có hệ quả sau:
– Nếu mệnh đề “A > B => C > D” đúng thì ta nói bất đẳng thức C > D là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức A > B và cũng viết là A > B => C > D. Tương tự như vậy, nếu mệnh đề “ A < B => C < D” đúng thì ta nói bất đẳng thức C < D là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức A < B và cũng viết là A < B => C < D.
Ví dụ: 100 < 120 và 120 < 200 => 100 < 200 ( Tính chất bắc cầu )
100 < 120, 200 tùy ý => 100 + 120 < 120 + 200 ( tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với một số )
– Nếu bất đẳng thức A < B là hệ quả của bất đẳng thức C < D và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau. Và được kí hiệu là: A < B ⇔ C < D.
3. Tính chất của bất đẳng thức:
3.1. Tính chất bắc cầu:
Với mọi số thực A, B, C:
– Nếu A > B và B > C thì A > C.
– Nếu A < B và B < C thì A < C.
Ví dụ: 300 < 550 và 550 < 1000 => 300 < 1000
3.2. Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số:
A < B ⇔ A + C < B + C.
Ví dụ: 345 < 578 <=> 345 + 234 < 578 + 234.
3.3. Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số:
– Với điều kiện C > 0, A < B <=> AC < BC.
Ví dụ: A = 20, B = 30, C = 10 <=> 20.10 < 30.10
– Với điều kiện C < 0, A < B <=> AC > BC.
Ví dụ: A = 76, B = 88, C = -25 <=> 76.(-25) > 88.( -25)
3.4. Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu A < C và B < D => A + C < B + D
Ví dụ: 367< 897 và 567 < 946 => 367 + 897 < 567 + 946
3.5. Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều:
Với điều kiện 0 < A < B và 0 < C < D => AC < BD.
Ví dụ: 0 < 120 < 367 và 0 < 45 < 46 => 120.45 < 367.46
3.6. Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một luỹ thừa:
– Với điều kiện n ∈ N∗, A < B <=> A^2n+1 < B^2n+1
Ví dụ: Với n = 2, 234 < 678 <=> 234^2.2+1 < 678^2.2+1
3.7. Khai căn hai vế của một bất đẳng thức:
Điều kiện: A, B > 0, với n ∈ N∗ thì ta sẽ có:
Chú ý: Các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b cũng được gọi là bất đẳng thức. Các mệnh đề này được gọi là các bất đẳng thức không ngặt và các bất đẳng thức dạng a < b hoặc a > b là các bất đẳng thức ngặt.
4. Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân ( Bất đẳng thức Cô-si):
4.1. Bất đẳng thức Cô-si:
Định lý: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
– Ta đặt 
là trung bình cộng của hai số a, b. Theo đó, công thức tổng quát trung bình cộng của n số 
sẽ là 
– Trung bình nhân của hai số không âm a ≥ 0, b ≥ 0 sẽ là √ab => Trung bình nhân của n số không âm 
sẽ là 
* Bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm:
Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi a = b.
* Bất đẳng thức Cô-si cho ba số a, b, c không âm:
4.2. Hệ quả:
– Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
– Khi hai số dương bất kỳ có tổng không đổi thì tích của chúng sẽ lớn nhất nếu giá trị hai số đó bằng nhau.
– Nếu trong trường hợp hai số dương xác định có tích không đổi thì tổng của chúng sẽ nhỏ nhất khi giá trị hai số này bằng nhau.
5. Bất đẳng thức đặc biệt:
5.1. Bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dùng để giải những dạng bài toán nâng cao.
∀a,b∈R; ∣a∣−∣b∣ ≤ ∣a + b∣ ≤ ∣a∣+∣b∣. Dấu “=”chỉ xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.
∣x∣ ≤ a <=> −a ≤ x ≤ a (∀a > 0)
∣x∣ ≥ a <=>∣x∣ ≥ a hoặc ∣x∣ ≤ −a (∀a > 0)
5.2. Bất đẳng thức trong tam giác:
Cho một tam giác ABC có lần lượt ba cạnh là a, b, c. Ta có các bất đẳng thức tam giác sau:
a > 0, b > 0, c > 0
|b – c| < a < b + c
|c – a| < b < c + a
|a – b| < c < a + b
a > b > c ⇔ A > B > C (với A, B, C lần lượt là góc đối diện cạnh a, cạnh b, cạnh c)
5.3. Bất đẳng thức Bunhi-a-cop-xki:
– Bất đẳng thức có dạng :
Trong trường hợp này, dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi .
– Cho 2 bộ số thực () và 
, mỗi bộ gồm n chữ số. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau:
Trong trường hợp này, dấu ” = “xảy ra khi và chỉ khi 
.
6. Bài tập vận dụng bất đẳng thức:
Bài tập số 1: Trong các mệnh đề bất đẳng thức dưới đây mệnh đề nào đúng?
A. 4,75 < 5
B. 
C. – √3 < 3
Hướng dẫn giải :
A. Mệnh đề đúng
B. Mệnh đề sai. Bởi vì 
C. Mệnh đề đúng.
Bài tập số 2:
a) Hãy chứng minh hệ quả 3: Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
b) Hãy chứng minh rằng: x3 + y3 ≥ x2y + xy2, ∀x, y ≥ 0
Hướng dẫn giải:
a) Hệ quả 3: Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
Đặt xy = P với điều kiện x > 0, y > 0.
Áp dụng công thức bất đẳng thức Cô-sy, ta có:
<=> x + y ≥ 2√P không đổi. Dấu ” = ” xảy ra khi x = y.
Kết luận: Vậy x + y nhỏ nhất bằng 2√P khi x = y.
b) Áp dụng luỹ thừa bậc chẵn của mọi số luôn ≥ 0. Ta có: A2n ≥ 0 với mọi A và n ∈ N*
Vì x ≥ 0, y ≥ 0 => x + y ≥ 0.
Xét bất đẳng thức: x3 + y3 ≥ x2y + xy2
<=> x3 + y3 – x2y – xy2 ≥ 0
<=> (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0
<=> (x + y)(x2 – 2xy + y2) ≥ 0
<=> (x + y)(x – y)2 ≥ 0.
Vì (x – y)2 ≥ 0 với mọi x, y và x + y ≥ 0 ( chứng minh trên )
=> (x + y)(x – y)2 ≥ 0 là luôn đúng.
Kết luận: x3 + y3 ≥ x2y + xy2 với x ≥ 0, y ≥ 0.
Bài tập số 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1 cm. Xác định tọa độ của A và B sao cho để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm O sao cho OH ⊥ AB.
Xét tam giác AOB vuông tại O có: OH là đường cao => HA.HB = OH2 = 12 = 1
Áp dụng công thức bất đẳng thức Cô-sy, ta có: 
2
=> ABmin = 2 ⇔ HA = HB = 1.
Trong tam giác OAB có OH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác OAB vuông cân tại A.
=> OA = OB và AB = 2.
Trong tam giác vuông OAB, áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
OA2 + OB2 = AB2 ⇔ OA2 + OA2 = AB2 ⇔ 2OA2 = 22 ⇔ OA2 = 2 ⇔ OA =√2.
Mà A nằm trên tia Ox => A(√2; 0). OB = OA => OB =√2.
Mà B nằm trên tia Oy nên B(0; √2)
Kết luận: A(√2; 0) và B(0; √2).
Bài tập số 4: Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R). Treen cung AB lấy điểm M. Tìm vị trí để chu vi tam giác MAB lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Lấy điểm N trên tia đối của AM sao cho MB = MN.
Chu vi tam giác MAB là AB + MA + MB = AB + AN
Chu vi tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi AN lớn nhất. Trong tam giác BMN cân tại M và MH vừa là phân giác của góc BMN, vừa là phân giác ngoài của góc AMB. MI là phân giác trong của góc AMB và điểm I là trung điểm của cung AB => MI vuông với MH.
=> MH cắt đường tròn (O; R) tại điểm J và IJ là đường của (O; R).
Tam giác MBN cân tại M => MJ là đường trung trực của BN => JA = JB =JN.
Vì AN là dây cung của đường tròn (J) nên AN lớn nhất khi và chỉ khi AN là đường kính của (J) <=> M trùng với J.
Kết luận: Chu vi tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với trung điểm J của cung AB.
Bài tập số 5: Trong hình chữ nhật ABCD lấy các điểm M, N, E, F lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm vị trí 4 điểm đó để chu vi tứ giác MNEF đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của MN, ME, EF. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
IB = 1/2 MN; IJ = 1/2 NE; JK = 1/2 MF; DK = 1/2 EF
=> Chu vi tứ giác MNEF là 2BD ≤ 2( BI + IJ + JK + KD ). Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi điểm B, I, J, K, D theo thứ tự nằm trên một đường thẳng.
=> MF // NE // BD.
=> Chu vi tứ giác MNEF đạt giá trị nhỏ nhất thì MNEF là hình bình hành có cạnh song song với đường chéo của hình chữ nhật ABCD thì chu vi của nó là 2BD
Đáp án trắc nghiệm video giới thiệu chương trình môn Toán
Phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit
